لما الافتراضات تنهار
تقريبًا كل اختبار لحد دلوقتي — الـ t-test، والـ ANOVA، والـ F-test، والـ confidence intervals في الوحدة 5 — قايم على افتراض عن شكل البيانات، غالبًا إنها normal (أو إن الـ sample كبيرة كفاية إن الـ central limit theorem تخلّي الـ sampling distribution normal). دي طرق parametric (معلمية): بتفترض إن البيانات جاية من عيلة بيوصفها شوية parameters (مَعلمات)، وبتقدّر الـ parameters دي.
والافتراض ده راحة مش قانون طبيعة، والبيانات الحقيقية بتكسره طول الوقت. أما الطرق الـ nonparametric (اللامعلمية) فمش بتفترض أي حاجة عن شكل الـ distribution — يعني «distribution-free (حرّة التوزيع)». والدرس ده عن إمتى تحتاجها وإيه تمن الحرية دي؛ والدرسين الجايين بيوروا الاختبارات المحددة وطرق الـ regression.
4 حالات بتكسر الاختبارات الـ parametric
روح للطريقة الـ nonparametric لو أي حاجة من دول اتحققت:
- samples صغيرة. عند n = 8 مش هتقدر تفحص الـ normality ولا تعتمد على الـ central limit theorem. ووقتها الـ p-value بتاعة الـ t-test مش أوثق من افتراض مينفعش تتأكد منه.
- بيانات ordinal. إجابات الاستبيانات («مش موافق…موافق»)، والترتيبات، ومقاييس Likert ليها ترتيب بس مفيش حساب ليه معنى — فالمسافة من «3» لـ «4» مش هي المسافة من «1» لـ «2». والـ mean بتاع البيانات الـ ordinal تقريبًا مالوش معنى؛ أما الـ median والرتب فصادقين.
- heavy tails والـ outliers. قيمة متطرفة واحدة بتشد الـ mean وتنفخ الـ variance، فتبوّظ الـ t-test. أما الطرق المبنية على الرتب فبالعافية بتلاحظها — أكبر قيمة هي مجرد «أكبر رتبة» مهما كبرت.
- skew واضح. الدخل، وأوقات الاستجابة، وأوقات البقاء skewed لليمين جامد. والـ sampling distribution بتاعها مش normal عند sample sizes واقعية، فالماكينة الـ parametric بتفشل.
الفكرة الجوهرية: رتب مش قيم
تقريبًا كل الاختبارات الـ nonparametric بتشترك في حيلة واحدة: بدّل القيم الخام بـ الـ ranks (الرتب) بتاعتها، واشتغل عليها.
الرتب هي السبب إن الطرق دي distribution-free. بعد ما ترمي كل حاجة غير الترتيب، شكل الـ distribution الأصلي مبقاش يفرق — رتب n رقم دايمًا من 1 لـ n مهما كانت الأرقام. وده كمان السبب إن الـ outlier بيخسر قدرته على التشويه: هو بيساهم برتبة واحدة، مش برقم ضخم.
الـ trade-off: الـ power قصاد الـ robustness
مفيش حاجة ببلاش. لما الافتراضات الـ parametric تبقى متحققة، الاختبار الـ nonparametric بيبقى الـ power (القدرة) بتاعه أقل شوية — احتمال أعلى شوية إنه يفوّت أثر حقيقي — لأن رمي المقادير بيرمي معلومات. والمقياس القياسي هو الـ asymptotic relative efficiency (الكفاءة النسبية المقاربة) أو ARE:
إنك تخسر 5% لما الافتراضات تتحقق، مقابل robustness شبه كاملة لما متتحققش، صفقة كسبانة عادةً. والمأخذ الأهم عمليًا هو التفسير: اختبار الرتب بيجاوب على سؤال عن الـ medians أو الـ stochastic ordering، مش عن المتوسطات، فلازم تكتب الاستنتاج بالكلام ده.
اللي جاي — واللي موجود خلاص
الدرس 8.2 بيغطّي الاختبارات المحددة — Wilcoxon، وMann-Whitney، وFriedman، وKolmogorov-Smirnov، والـ permutation tests — والدرس 8.3 بيغطّي الـ nonparametric regression. وفيه جزئين من الوحدة دي متشرحين في حتة تانية في الكورس وهنحيل عليهم من غير تكرار: اختبار Kruskal-Wallis في الوحدة 6، الدرس 3، والـ kernel density estimation في الوحدة 2، الدرس 1.
- الطرق الـ parametric بتفترض distribution (غالبًا normal)؛ والطرق الـ nonparametric distribution-free.
- روح للـ nonparametric مع الـ samples الصغيرة، والبيانات الـ ordinal، والـ heavy tails/الـ outliers، أو الـ skew الجامد — في أي حتة الـ normality فيها مش صح أو مش ممكن تتفحص.
- الحيلة المشتركة هي الـ rank transformation: تبدّل القيم بترتيبها، وده بيرمي المقادير وبيخلّي الاختبار distribution-free.
- الرتب بتخلّي الطرق robust قدام الـ outliers — القيمة المتطرفة مجرد أكبر رتبة.
- التمن غرامة power صغيرة (~5% لـ Wilcoxon قصاد t على بيانات normal)، وغالبًا بتنقلب على البيانات اللي مش normal.
- اختبارات الرتب بتجاوب على أسئلة عن الـ medians / الـ stochastic ordering مش المتوسطات — فاكتب الاستنتاج على الأساس ده.