الاختبارات الـ nonparametric | STAT-101

اختبار لكل تصميم

كل اختبار parametric ليه نظير مبني على الرتب بيسأل سؤال شبهه من غير افتراض الـ normality. وتصميم دراستك — مجموعتين أو أكتر، مرتبطين أو مستقلين — هو اللي بيختار الاختبار، بالظبط زي العالم الـ parametric:

مجموعتين مستقلين: الـ t-test → Mann-Whitney U
قياسات مرتبطة: الـ paired t → Wilcoxon signed-rank
3 مجموعات أو أكتر: الـ one-way ANOVA → Kruskal-Wallis
قياسات متكررة: الـ repeated-measures ANOVA → Friedman
distributions كاملة: (مفيش نظير parametric بسيط) → Kolmogorov-Smirnov

مجموعتين مستقلين: Mann-Whitney U

اختبار الـ Mann-Whitney U (المكافئ لـ Wilcoxon rank-sum test) بيسأل هل مجموعة من الاتنين بتميل تطلّع قيم أكبر. اجمع الـ sampleتين، ورتّب كل المشاهدات مع بعض، وبعدين اجمع رتب المجموعة الأولى:

إحصاءة U

U = n_1 n_2 + \dfrac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1

R₁ مجموع رتب المجموعة الأولى. والـ U بيعدّ كام مرة قيمة من المجموعة الأولى بتعدّي قيمة من التانية؛ وتحت الـ null hypothesis الاتنين بيتبادلوا، فالـ U بيقع قريب من نصه.

ولأنه بيشتغل على الرتب، الـ Mann-Whitney بيقارن هل distribution stochastically larger (أكبر عشوائيًا) من التاني — مش هل المتوسطين مختلفين. وهو الاختبار الافتراضي لمجموعتين ببيانات skewed أو ordinal.

بيانات مرتبطة: Wilcoxon signed-rank

لما المشاهدات تيجي أزواج — قبل/بعد، شمال/يمين، أفراد متطابقين — اختبار الـ Wilcoxon signed-rank بياخد مكان الـ paired t-test. احسب فرق كل زوج، ورتّب الفروق على حسب الحجم المطلق، وبعدين رجّع الإشارات الأصلية واجمع الرتب الموجبة. لو العلاج معملش حاجة، الفروق الموجبة والسالبة هيتوازنوا، فمجموع الرتب بالإشارة هيقع قريب من الصفر. وهو بيستخدم معلومات أكتر من الـ sign test الأبسط (اللي بيعدّ اتجاه كل فرق بس) وفي نفس الوقت بيتجاهل المقادير الخام.

3 مجموعات أو أكتر: Kruskal-Wallis وFriedman

لـ 3 مجموعات مستقلة أو أكتر، اختبار Kruskal-Wallis هو الـ one-way ANOVA المبني على الرتب — ومشروح بالكامل في الوحدة 6، الدرس 3، فهنكتفي هنا إننا نحطه في العيلة من غير تكرار. وقريبه للقياسات المتكررة هو اختبار Friedman: لما نفس الأفراد يتقاسوا تحت كذا condition (تلات محكّمين بيقيّموا نفس النبيذ مثلًا)، الـ Friedman بيرتّب جوه كل فرد وبعدين يختبر هل الـ conditions مختلفة. وهو بالنسبة للـ Kruskal-Wallis زي الـ repeated-measures ANOVA بالنسبة للـ one-way ANOVA.

مقارنة الـ distributions كاملة: Kolmogorov-Smirnov

الاختبارات اللي فوق بتقارن الـ central tendency. أما اختبار Kolmogorov-Smirnov (KS) فبيقارن الـ distributions كاملة بإنه يقيس أكبر فجوة رأسية بين الـ CDFs (دالتي التوزيع التراكمي):

إحصاءة KS

D = \max_x \lvert F_1(x) - F_2(x) \rvert

D هي أكبر مسافة بين two empirical CDFs (sampleتين) أو بين empirical وtheoretical (sample واحدة، زي فحص الـ normality). وD كبيرة معناها إن الـ distributions مختلفة في الشكل أو الانتشار أو المكان — مش في المركز بس.

الماكينة العامة: الـ permutation tests

تحت كتير من دول فيه فكرة واحدة قوية كفاية تستاهل اسمها. الـ permutation test (اختبار التبديل) بيبني الـ null distribution من البيانات على طول: لو أسامي المجموعات مالهاش معنى تحت الـ null hypothesis، يبقى أي خلطة ليها محتملة زي اللي اتشافت. فاحسب الإحصاءة بتاعتك للأسامي الحقيقية، وبعدين لآلاف المرات اللي بتعيد فيها توزيع الأسامي عشوائي، وشوف القيمة الحقيقية بتقع فين:

الـ permutation p-value

p = \dfrac{\#\{\text{u062au0628u062fu064au0644u0627u062a u0628u062au0637u0631u0641 u0627u0644u0645u0634u0627u0647u064eu062f}\}}{\#\{\text{u0643u0644 u0627u0644u062au0628u062fu064au0644u0627u062a}\}}

الـ p-value ببساطة هي نسبة الخلطات اللي بتطلّع إحصاءة متطرفة على الأقل قد اللي اتشافت. مش بتفترض أي حاجة عن الـ distribution وبتشتغل لأي إحصاءة تقدر تحسبها — الطريقة الـ nonparametric لعصر الكمبيوتر.

أهم النقط

التصميم بيختار الاختبار: Mann-Whitney U (مجموعتين مستقلين)، وWilcoxon signed-rank (مرتبطين)، وKruskal-Wallis (3+ مجموعات)، وFriedman (قياسات متكررة).
الـ Mann-Whitney بيقارن هل distribution stochastically larger — مش هل المتوسطات مختلفة.
Kruskal-Wallis هو الـ one-way ANOVA المبني على الرتب (مشروح في الوحدة 6، الدرس 3)؛ وFriedman نسخته للقياسات المتكررة.
اختبار Kolmogorov-Smirnov بيقارن الـ distributions كاملة عن طريق أكبر فجوة بين الـ CDFs بتاعتهم — الشكل والانتشار مش المركز بس.
الـ permutation tests بتبني الـ null distribution بخلط الأسامي: من غير افتراضات، وبتنطبق على أي إحصاءة تقريبًا.