الاختبارات الإحصائية المشهورة | STAT-101

صندوق أدوات الاختبار

الدرس اللي فات حط منطق الـ hypothesis testing: تكتب H₀ وH₁، وتحسب الـ test statistic، وتجيب الـ p-value، وتقارنها بعتبة الـ significance. بس السؤال الجوهري فضل مفتوح — تستخدم أنهي اختبار؟

الإجابة معتمدة على 3 حاجات: بتقارن إيه (متوسطات ولا نسب ولا ارتباطات)، وعدد المجموعات، وإنت عارف إيه عن الـ population (الـ standard deviation معروف؟). الدرس ده بيستعرض أشهر الاختبارات: الـ Z-test، والـ t-tests بأنواعها، واختبارات النسب، والـ chi-squared test. وفي الآخر بنتكلم عن الـ effect size (حجم الأثر) اللي بيحط الـ statistical significance في سياق عملي.

الاختبار	بيستخدم إمتى	الإحصاءة الأساسية
الـ Z-test (متوسطات)	mean لـ sample واحدة، σ معروفة	Z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n)
الـ one-sample t-test	mean لـ sample واحدة، σ مش معروفة	t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)
الـ two-sample t-test	متوسطين لمجموعتين مستقلين	t = (x̄₁ − x̄₂) / SE
الـ paired t-test	sampleتين مرتبطين/متطابقين	t = d̄ / (sₜ/√n)
Z للنسبة الواحدة	نسبة واحدة قصاد p₀	Z = (p̂ − p₀) / √(p₀(1−p₀)/n)
Z للنسبتين	نسبتين من مجموعتين مستقلين	Z = (p̂₁ − p̂₂) / SE
الـ chi-squared (χ²)	الارتباط بين two categorical variables	χ² = Σ(O−E)²/E

الـ Z-test للمتوسطات (σ معروفة)

لما الـ standard deviation بتاع الـ population σ يبقى معروف، الـ Z-test بيبقى مظبوط حتى مع samples صغيرة (على افتراض الـ normal distribution)، وصحيح تقريبًا للـ samples الكبيرة بفضل الـ central limit theorem. في الواقع، نادرًا لما σ بتبقى معروفة؛ والـ Z-test بيظهر غالبًا في الكتب أو لما بيانات تاريخية تدّي قيمة موثوقة لـ σ.

إحصاءة الـ Z-test

Z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

x̄ هو الـ sample mean، وμ₀ هو الـ mean المفترض للـ population، وσ هو الـ standard deviation المعروف للـ population، وn هو الـ sample size. والـ critical values عند α = 0.05 two-tailed: ±1.96.

مثال

مصنّع بيقول إن قطر قضبانه متوسطه 10 مم وσ = 0.2 مم (من سجلات الإنتاج القديمة). sample من 40 قضيب طلّعت x̄ = 10.06 مم. فيه دليل إن المتوسط اتحرك؟

Z = (10.06 − 10) / (0.2 / √40) = 0.06 / 0.0316 ≈ 1.90. وبما إن |Z| = 1.90 < 1.96، بنفشل في رفض H₀ عند α = 0.05 (مع إن p ≈ 0.057 على حافة الـ significance).

الـ one-sample t-test (σ مش معروفة)

في الحالة الأشهر لما σ مش معروفة، بنقدّرها بالـ sample standard deviation s ونستخدم إحصاءة t. الـ t distribution ديوله أتقل من الـ standard normal، وده بيعكس عدم اليقين الزيادة اللي جاي من تقدير σ. وكل ما الـ sample size يكبر، الـ t distribution بيقرب من الـ standard normal.

إحصاءة الـ one-sample t

t = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \quad df = n - 1

s هو الـ sample standard deviation. والـ degrees of freedom: df = n − 1. وعند df = ∞ الـ t distribution بيبقى هو الـ standard normal.

الافتراضات: إن الـ population يبقى normal تقريبًا (أو n ≥ 30 بالـ central limit theorem). واستقلالية المشاهدات. ومفيش outliers حادة تبوّظ s.

الـ two-sample t-test (مجموعتين مستقلين)

لما تقارن متوسطين لـ مجموعتين مستقلين — مجموعة علاج ومجموعة control، أو رجالة وستات، أو مكنتين مختلفين — بنستخدم الـ two-sample t-test. H₀: μ₁ = μ₂.

أشهر نسخة منه بتفترض إن الـ variances متساوية (σ₁² = σ₂²) وبتستخدم تقدير pooled للـ variance المشترك:

الـ pooled variance

s_p^2 = \dfrac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2}{n_1 + n_2 - 2}

الـ pooled variance s²_p هو weighted average للـ variances بتوع الـ sampleتين، والأوزان على قد الـ degrees of freedom اللي كل مجموعة بتساهم بيها.

إحصاءة الـ two-sample t

t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}}}, \quad df = n_1 + n_2 - 2

df = n₁ + n₂ − 2. ولو افتراض تساوي الـ variances مشكوك فيه، استخدم Welch's t-test (اختبار ويلش) اللي بيستخدم تقديرات variance منفصلة وdegrees of freedom تقريبية.

variances متساوية ولا مختلفة

ممكن تستخدم Levene's test (اختبار ليفين) عشان تتأكد من تساوي الـ variances. بس إحصائيين كتير بينصحوا تستخدم Welch's test كافتراضي — لأنه بيشتغل كويس حتى لو الـ variances متساوية، وهو الأأمن لما تبقى مختلفة.

الـ paired t-test (الـ samples المتزاوجة)

لما القياسات تيجي في أزواج طبيعية — قبل/بعد، الإيد اليمين/الشمال، مريض بياخد دوا وبعدين دوا تاني (الـ crossover design) — الـ sampleتين مش مستقلين. والـ paired t-test بيستغل التركيبة دي بإنه يشتغل على الفروق جوه كل زوج: dᵢ = xᵢ₁ − xᵢ₂.

ولما تحلّل الفروق، بتشيل التغيّر بين الأفراد، وده بيدّي الـ paired test power أكبر من الـ two-sample t-test لما الارتباط بين الأزواج يبقى قوي.

إحصاءة الـ paired t

t = \dfrac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}, \quad df = n - 1

d̄ هو متوسط الفروق لـ n زوج، وs_d هو الـ standard deviation بتاعها. والـ degrees of freedom: df = n − 1. H₀: μ_d = 0.

مثال: ضغط الدم قبل العلاج وبعده

اتقاس ضغط الدم لـ 12 مريض قبل دوا جديد وبعده. متوسط الفرق d̄ = −8.3 ملم زئبق وs_d = 5.1 ملم زئبق. t = −8.3 / (5.1/√12) ≈ −5.65. وعند df = 11 و|t| = 5.65، الـ p-value < 0.001 — دليل قوي إن الدوا بيقلّل ضغط الدم.

اختبارات النسب

لما النتيجة تبقى فئوية (نجاح/فشل، آه/لأ)، بنشتغل بالنسب بدل المتوسطات. وتقريب Z بيتطبّق لما الـ sample تبقى كبيرة كفاية إن الـ normal distribution يقرّب الـ binomial كويس.

الـ one-proportion Z-test: بيختبر هل النسبة بتساوي قيمة مفترضة p₀.

إحصاءة Z للنسبة الواحدة

Z = \dfrac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1 - p_0)}{n}}}

p̂ = x/n هي الـ sample proportion. وشرط صحة التقريب الـ normal: np₀ ≥ 10 وn(1 − p₀) ≥ 10.

الـ two-proportion Z-test: بيقارن النسب من مجموعتين مستقلين. والنسبة الـ pooled p̄ = (x₁ + x₂) / (n₁ + n₂) بتستخدم في الـ standard error تحت H₀: p₁ = p₂.

إحصاءة Z للنسبتين

Z = \dfrac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})\left(\dfrac{1}{n_1} + \dfrac{1}{n_2}\right)}}

p̄ هي النسبة الـ pooled تحت H₀. والاختبار ده هو أساس اختبارات A/B في الصناعة — مقارنة معدلات التحويل ونسب الضغط وحاجات زي كده.

الـ chi-squared test للاستقلالية

الـ chi-squared test (اختبار كاي تربيع) بيجاوب على سؤال: two categorical variables دول مستقلين؟ بنرتّب البيانات في contingency table (جدول تقاطعي) ونقارن التكرارات اللي شفناها O بالتكرارات المتوقعة E لو الـ variables مستقلين.

التكرارات المتوقعة تحت الاستقلالية

E_{ij} = \dfrac{(\text{row}_i \text{ total}) \times (\text{col}_j \text{ total})}{n}

مجموع الصف × مجموع العمود ÷ المجموع الكلي. تحت الاستقلالية، تكرار كل خلية بيتحدد بس من الـ marginal distributions.

إحصاءة الـ chi-squared

\chi^2 = \sum_{\text{all cells}} \dfrac{(O - E)^2}{E}, \quad df = (r-1)(c-1)

المجموع على كل الخلايا. df = (r − 1)(c − 1) وr وc هما عدد الصفوف والأعمدة. وقيمة χ² كبيرة معناها بعد واضح عن الاستقلالية.

الشروط: التكرار المتوقع ≥ 5 في كل خلية (غير كده استخدم Fisher's exact test). وsampling عشوائي واستقلالية المشاهدات.

مثال: الأعراض الجانبية حسب مجموعة العلاج

في تجربة سريرية، 200 مريض بياخدوا دوا من اتنين (A أو B)، وبيتسجّل ظهور (أو عدم ظهور) أعراض جانبية. هل ظهور الأعراض مرتبط بنوع الدوا؟

الـ χ² بيلخّص جدول 2×2 بعيد قد إيه عن اللي متوقعينه لو مفيش ارتباط. وقيمة χ² كبيرة مع p صغيرة معناها إن الدوائين مختلفين في الأعراض الجانبية بتاعتهم.

الـ effect size: أبعد من الـ statistical significance

الـ p-value بتقولك الأثر ينفع يتلقط ولا لأ، مش هو مهم ولا لأ. مع sample كبيرة كفاية، حتى فرق صغير جدًا هيطلع significant. والـ effect size بيقيس حجم الفرق الفعلي بوحدة موحّدة ينفع تتفسّر.

الـ Cohen's d (d كوهين) هو أشهر مقياس للـ effect size لما تقارن متوسطين. بيعبّر عن الفرق بين المتوسطين كمضاعف للـ pooled standard deviation:

الـ Cohen's d

d = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p}

العتبات المتعارف عليها: |d| ≈ 0.2 (صغير)، |d| ≈ 0.5 (متوسط)، |d| ≈ 0.8 (كبير). ودي مجرد إرشادات تقريبية — السياق العلمي دايمًا أهم.

الـ odds ratio (نسبة الأرجحية) أو OR هو مقياس الأثر الطبيعي للنتايج الثنائية، وبيستخدم على نطاق واسع في علم الأوبئة والتجارب السريرية. بيقارن الـ odds بتاعة حدث في مجموعة بالـ odds بتاعته في مجموعة تانية:

الـ odds ratio

OR = \dfrac{p_1 / (1 - p_1)}{p_2 / (1 - p_2)} = \dfrac{ad}{bc}

OR = 1 معناها odds متساوية (مفيش ارتباط). وOR > 1 معناها odds أعلى في المجموعة 1. وOR < 1 معناها odds أقل. وعلى عكس الفرق المطلق في الـ risk، الـ OR بيفضل ثابت مهما اخترت المجموعة المرجعية.

قول دايمًا الـ p-value والـ effect size مع بعض. النتيجة ممكن تبقى significant جدًا (p صغيرة جدًا) بس مالهاش قيمة عملية (d صغير جدًا)، أو مهمة عمليًا (d كبير) بس مش significant بسبب صغر الـ sample. والصورة مش بتكمل بمقياس من غير التاني.

أهم النقط

الـ Z-test (σ معروفة): Z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n). استخدمه لما الـ standard deviation بتاع الـ population يبقى معروف. والـ critical values من الـ standard normal.
الـ one-sample t (σ مش معروفة): t = (x̄ − μ₀) / (s/√n)، df = n − 1. الأداة الأساسية لاختبار الـ mean في مجموعة واحدة.
الـ two-sample t-test: بيقارن متوسطين لمجموعتين مستقلين باستخدام pooled variance أو طريقة Welch. ويُفضّل Welch كافتراضي.
الـ paired t-test: بيحلّل الفروق dᵢ = xᵢ₁ − xᵢ₂ للأزواج المتطابقة. power أكبر من الـ two-sample لما يبقى فيه ارتباط قوي جوه الأزواج.
اختبارات Z للنسب: النسبة الواحدة بتختبر p̂ قصاد p₀. والنسبتين بيقارنوا p̂₁ بـ p̂₂ باستخدام standard error pooled.
الـ chi-squared test: χ² = Σ(O−E)²/E بيختبر الاستقلالية بين two categorical variables. df = (r−1)(c−1). ومحتاج E ≥ 5 في كل خلية.
الـ effect size: الـ Cohen's d بيوحّد فروق المتوسطات. والـ odds ratio بيقارن معدلات الأحداث الثنائية. قول دايمًا الاتنين جنب الـ p-value.