STAT 101
M06 · L03
الوحدة 6 · الدرس 3

الـ ANOVA (تحليل التباين)

مقارنة متوسطين سهلة. أما مقارنة 3 متوسطات أو أكتر مرة واحدة — من غير ما تكبّر معدل الخطأ — فمحتاجة الـ ANOVA (تحليل التباين). F-test واحد أنيق بيحكم الكل.

01 / 12
STAT 101
M06 · L03
ليه منعملش t-tests وخلاص؟

فخ الاختبارات المتعددة

4 مجموعات → مقارنات
6 اختبارات
خطر الـ false positive
≈ 26%

إنك تعمل 6 t-tests بمستوى α = 0.05 لكل واحد بيرفع الـ familywise error rate لـ 1 − 0.95⁶ ≈ 26%. والـ ANOVA بيخلّيه عند 5% باختبار واحد.

02 / 12
STAT 101
M06 · L03
تقسيم التغيّر

تفكيك مجموع المربعات

الكلي = بين المجموعات + جواها
SS_T = SS_B + SS_W

SS_B هو الإشارة (متوسطات المجموعات بعيدة قد إيه عن الـ grand mean). وSS_W هو الـ noise (انتشار المشاهدات جوه كل مجموعة).

03 / 12
STAT 101
M06 · L03
نسبة الإشارة للـ noise

الـ F statistic

نسبة F
F = \dfrac{MS_B}{MS_W} = \dfrac{SS_B/(k-1)}{SS_W/(N-k)}

تحت H₀، F ≈ 1. وتحت H₁ (فيه متوسطات مختلفة)، MS_B بيكبر بينما MS_W بيفضل ثابت → F > 1. وبنرفض H₀ لما F يعدّي الـ critical value F*(k−1, N−k).

04 / 12
STAT 101
M06 · L03
تنظيم الحسابات

جدول الـ ANOVA

  • بين المجموعات: SS_B، df = k−1، MS_B = SS_B/(k−1)
  • جوه المجموعات: SS_W، df = N−k، MS_W = SS_W/(N−k)
  • الكلي: SS_T، df = N−1
  • F = MS_B / MS_W مع p-value من F(k−1, N−k)
05 / 12
STAT 101
M06 · L03
قبل ما تثق في النتايج

افتراضات الـ ANOVA

  • الـ normality جوه كل مجموعة (QQ plot، Shapiro-Wilk test)
  • تساوي الـ variances بين المجموعات (Levene's test؛ أكبر s ≤ ضعف أصغر s)
  • الاستقلالية بين المشاهدات جوه المجموعات وبينها
البدايل
بيانات مش normal → Kruskal-Wallis
variances مش متساوية → Welch's ANOVA
06 / 12
STAT 101
M06 · L03
بعد F-test significant

الـ post-hoc tests

Tukey's HSD
HSD = q^* \sqrt{\dfrac{MS_W}{n}}

Tukey's HSD: الأحسن لكل المقارنات الزوجية مع أحجام متساوية. Bonferroni: استخدم α معدّلة = 0.05/m لأي مجموعة متخططة من الأول من m مقارنة.

07 / 12
STAT 101
M06 · L03
factorين مرة واحدة

الـ two-way ANOVA

تفكيك مجموع المربعات
SS_T = SS_A + SS_B + SS_{AB} + SS_E

3 F-tests في نفس الوقت: الـ main effect A، والـ main effect B، والـ interaction AB. وكل واحد بيستخدم MS_E (الـ residuals) كمقام.

08 / 12
STAT 101
M06 · L03
أهم ناتج في الـ model

تأثير الـ interaction

  • تأثير الـ factor A معتمد على إحنا في أنهي مستوى من الـ factor B
  • إزاي تشوفه: خطوط مش متوازية في الـ interaction plot
  • الخطوط اللي بتتقاطع = interaction قوي (ممكن يقلب الاتجاه)
  • لما يبقى significant، الـ main effects متتفسّرش لوحدها
09 / 12
STAT 101
M06 · L03
لما الـ normality تفشل

Kruskal-Wallis

إحصاءة H
H = \dfrac{12}{N(N+1)} \sum_{i=1}^{k} \dfrac{R_i^2}{n_i} - 3(N+1)

رتّب كل الـ N مشاهدة مع بعض. H ~ χ²(k−1) تحت H₀. مش بيفترض الـ normality. وللمقارنات اللاحقة: Dunn's test مع تصحيح Bonferroni.

10 / 12
STAT 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

4 أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

11 / 12
STAT 101
الخلاصة
مراجعة

اتعلّمت إيه

  • الـ ANOVA بيقارن k ≥ 3 متوسطات بـ F-test واحد، وهو ماسك الـ familywise error
  • F = MS_B/MS_W — إشارة بين المجموعات على noise جواها
  • الافتراضات: الـ normality، وتساوي الـ variances، والاستقلالية
  • الـ post-hoc: Tukey's HSD أو Bonferroni عشان تحدد الأزواج المختلفة
  • الـ two-way ANOVA بيزوّد الـ interaction — افحصه قبل الـ main effects
  • الـ Kruskal-Wallis: البديل المبني على الرتب لما الـ normality تفشل
الجاي
الدرس 4 — الغلطات المشهورة ←
كل الدروس اقرا المقالة
12 / 12