منطق الـ hypothesis testing | STAT-101

إطار تاخد بيه قرارات وإنت مش متأكد

العلم بيتقدّم بإنه يختبر الأفكار قصاد الأدلة. عندك ادعاء — دوا بيشتغل، عملة عادلة، خوارزمية جديدة أسرع — وبتجمع بيانات عشان تقيّمه. بس البيانات فيها noise. حتى العملة العادلة تمامًا ممكن تطلّع 7 صور في 10 رميات. تفرّق إزاي بين الأثر الحقيقي والصدفة؟

الـ hypothesis testing (اختبار الفرضيات) بيدّيك إطار منظّم وينفع يتكرر عشان تاخد الحكم ده. بدل ما تسأل «الأثر ده حقيقي؟» على طول (وده محتاج تعرف حقيقة الدنيا)، بيسأل سؤال أسهل في الحل: هتتفاجئ قد إيه لو لقيت البيانات دي ومفيش أثر أصلًا؟ لو البيانات هتبقى مفاجئة جدًا في سيناريو «مفيش أثر»، يبقى عندنا دليل ضده.

الدرس ده بيغطّي البنية الفكرية للـ hypothesis testing: الـ null hypothesis والـ alternative، والـ test statistic، والـ p-value، ومستوى الـ significance، ونوعين الخطأ، والـ statistical power، والاختيار بين الاختبارات one-tailed وtwo-tailed.

الـ null hypothesis والـ alternative hypothesis

كل hypothesis test مبني على فرضيتين بيتنافسوا. الـ null hypothesis (الفرضية الصفرية)، ورمزها H₀، بتمثّل الموقف الافتراضي المتشكك — عادةً إن مفيش أثر أو فرق أو علاقة. والـ alternative hypothesis (الفرضية البديلة)، ورمزها H₁ (أو H_a)، هي اللي إنت بتدوّر على دليل ليها.

أمثلة

تجربة الدوا: H₀: الدوا مش بيأثر على وقت الشفا | H₁: الدوا بيقلّل وقت الشفا

عدالة العملة: H₀: p = 0.5 (العملة عادلة) | H₁: p ≠ 0.5 (العملة متحيزة)

سرعة الخوارزمية: H₀: متوسط وقت التشغيل = 100 ملّي ثانية | H₁: متوسط وقت التشغيل < 100 ملّي ثانية

فيه عدم تماثل جوهري: إحنا عمرنا ما بنثبت H₀. يا إما بنرفض H₀ (الدليل ضدها قوي كفاية) يا إما بنفشل في رفض H₀ (الدليل مش كفاية). ده شبه محاكمة جنائية — الحكم يا «مذنب» يا «غير مذنب»، وعمره ما بيبقى «بريء». إنك تفشل في رفض H₀ مش معناه إن H₀ صح؛ معناه إن البيانات مدّتش دليل كفاية ينفيها.

الـ test statistic

الـ test statistic (إحصاءة الاختبار) رقم واحد بيتحسب من البيانات وبيلخّص الدليل ضد H₀. بيتصمم بحيث القيم المتطرفة (البعيدة عن اللي H₀ بتتوقعه) تشاور على دليل قوي ضد H₀.

عشان تختبر mean μ لـ population لما الـ standard deviation بتاعه σ يبقى معروف، الـ test statistic الطبيعي هو الـ Z-score بتاع الـ sample mean:

الـ Z test statistic

Z = \dfrac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}

x̄ هو الـ sample mean، وμ₀ هو الـ mean المفترض تحت H₀، وσ هو الـ standard deviation المعروف للـ population، وn هو الـ sample size. والـ Z بيقيس الـ sample mean بعيد بكام standard error عن القيمة المفترضة.

تحت H₀، الإحصاءة دي ماشية على standard normal (بالـ central limit theorem). والقيم المطلقة الكبيرة لـ Z معناها إن الـ sample mean اللي شفناه بعيد جدًا عن اللي H₀ بتتوقعه — وده دليل ضد H₀.

سيناريوهات الاختبار المختلفة محتاجة إحصاءات مختلفة: إحصاءة t لما σ مش معروفة، وإحصاءة chi-squared للبيانات الفئوية، وإحصاءة F لمقارنة متوسطات كذا مجموعة. والمنطق الأساسي دايمًا واحد: قيس البيانات بعيدة عن H₀ قد إيه.

الـ p-value

الـ p-value (القيمة الاحتمالية) هي الاحتمال — محسوب على افتراض إن H₀ صح — إنك تشوف test statistic متطرف على الأقل قد اللي شفته فعلًا. وهي بتقيس البيانات مفاجئة قد إيه تحت الـ null hypothesis.

الـ p-value (two-tailed)

p\text{-value} = P\bigl(|Z| \geq |z_{\text{obs}}| \;\big|\; H_0\bigr)

في الاختبار الـ two-tailed، الـ p-value هي احتمال إنك تشوف |Z| ≥ |z_obs| تحت H₀. الـ p-value الصغيرة معناها إن البيانات اللي شفناها هتبقى نادرة لو H₀ صح.

الـ p-value مش إيه: مش احتمال إن H₀ صح، ومش احتمال إن النتيجة حصلت بالصدفة. دي أفهام غلط منتشرة. الـ p-value خاصية للبيانات تحت H₀، مش ادعاء عن H₀ في ضوء البيانات.

أفهام غلط منتشرة

غلط: «p = 0.03 معناها إن احتمال إن H₀ صح هو 3%.»

غلط: «p = 0.03 معناها إن احتمال إن النتيجة حقيقية 97%.»

صح: «لو H₀ صح، هشوف بيانات متطرفة كده أو أكتر في 3% بس من المرات.»

مستوى الـ significance α

قبل ما تشوف البيانات، بتختار الـ significance level (مستوى الدلالة) α — العتبة اللي لو الـ p-value نزلت تحتها تبقى صغيرة كفاية إنك ترفض H₀. أشهر اختيارات هي α = 0.05 وα = 0.01 وα = 0.001.

قاعدة القرار بسيطة: لو p ≤ α، ارفض H₀ وقول إن النتيجة «statistically significant (ذات دلالة إحصائية).» ولو p > α، يبقى فشلت في رفض H₀. ولازم تختار α قبل التجربة، مش بعد ما تشوف البيانات.

ليه α = 0.05؟ مفيش أي قدسية رياضية في 0.05. بقت العتبة التقليدية غالبًا بسبب سابقة تاريخية (ر. أ. فيشر استخدمها في العشرينات). وفي المجالات اللي الاكتشافات الكدّابة فيها غالية — زي فيزيا الجسيمات — بيستخدموا عتبات صغيرة لحد 5 × 10⁻⁷. والعتبة الصح معتمدة على تكلفة الـ false positive مقارنةً بتكلفة الـ false negative.

الـ Type I error والـ Type II error

أي طريقة قرار وإنت مش متأكد هتغلط أحيانًا. والـ hypothesis testing بيطلّع نوعين من الأخطاء:

جهازين إنذار دخان: واحد بيصفّر فوق عيش محمّص طالع منه خيط دخان رفيع، والتاني ساكت فوق دخان كتير. — H₀: مفيش حريقة. إن الجهاز يصرخ عشان عيش محمّص ده Type I error، وإنه يسكت في دخان حقيقي ده Type II error. قلّل α: إنذارات كدب أقل، وحرايق بتفوتك أكتر.

الـ Type I error (خطأ النوع الأول) (الـ false positive) بيحصل لما H₀ تبقى صح فعلًا بس إحنا نرفضها. احتمال الـ Type I error هو α بالظبط — من التصميم نفسه، بنرفض H₀ في نسبة α من المرات لما تبقى صح. وده تمن الحساسية.

الـ Type II error (خطأ النوع الثاني) (الـ false negative) بيحصل لما H₀ تبقى غلط بس إحنا نفشل في رفضها. واحتمال الـ Type II error رمزه β. وعلى عكس α، الـ β معتمدة على حجم الأثر الحقيقي والـ sample size — ومش متحددة بعتبة الـ significance.

H₀ صح	H₀ غلط
Type I error (الاحتمال = α)	قرار صح (الاحتمال = 1 − β)	رفض H₀
قرار صح (الاحتمال = 1 − α)	Type II error (الاحتمال = β)	الفشل في رفض H₀

فيه trade-off أصيل: لو قلّلت α (خلّيت رفض H₀ أصعب) هتقلّل الـ Type I errors بس هتزوّد الـ Type II errors. مينفعش تقلّل النوعين في نفس الوقت مع sample size ثابت. والطريقة الوحيدة تقلّلهم مع بعض إنك تكبّر الـ sample size.

الـ statistical power

الـ power (القوة) هي احتمال إنك ترفض H₀ صح لما تبقى غلط: الـ power = 1 − β. الاختبار اللي الـ power بتاعه عالي حساس — بيلقط الآثار الحقيقية بثقة. والاختبار اللي الـ power بتاعه واطي كتير بيفشل يلقط آثار حقيقية.

الـ statistical power

\text{Power} = 1 - \beta = P(\text{reject } H_0 \mid H_0 \text{ is false})

الـ power هي المكمّل لمعدل الـ Type II error. والهدف التقليدي power 80% (β = 0.20)، مع إن 90% أحسن في الأبحاث اللي المخاطر فيها عالية.

الـ power معتمدة على 4 حاجات: مستوى الـ significance α (كل ما α تعلى → power أكبر)، وحجم الأثر الحقيقي (الآثار الأكبر أسهل تتلقط)، والـ sample size n (بيانات أكتر ← power أكبر)، والتغيّر في البيانات σ (noise أقل ← إشارة أوضح). والعلاقات دي هي اللي ورا الـ power analysis — إنك تحسب الـ sample size المطلوب قبل ما تجمع البيانات عشان تضمن إن الدراسة تقدر تلقط الأثر اللي بتدوّر عليه.

الاختبارات one-tailed وtwo-tailed

الـ alternative hypothesis بتحدد اتجاه الاختبار. الاختبار الـ two-tailed (ثنائي الذيل) بياخد في اعتباره البعد في الاتجاهين عن H₀: H₁: μ ≠ μ₀. والـ p-value هي احتمال إنك تشوف |Z| ≥ |z_obs| في أي ديل من ديلين الـ distribution. ودي الاختيار المناسب لما ميكونش عندك فرضية اتجاهية من الأول.

الاختبار الـ one-tailed (أحادي الذيل) (الاتجاهي) بياخد في اعتباره البعد في اتجاه واحد بس: H₁: μ > μ₀ (الديل العالي) أو H₁: μ < μ₀ (الديل الواطي). الـ p-value بتتحسب من ديل واحد بس، فبتبقى نص قيمة الـ two-tailed لنفس البيانات. والاختبارات الـ one-tailed ليها power أكبر عشان تلقط الأثر في الاتجاه المحدد ده، بس مش بتدّي أي دليل على آثار في الاتجاه التاني.

تستخدم الـ one-tailed إمتى؟

استخدم two-tailed (الافتراضي): مفيش عندك فرضية اتجاهية من الأول، أو الأثر في أي اتجاه هيهمّك (زي إنك تختبر هل عملية جديدة بتغيّر الإنتاج).

استخدم one-tailed: الاتجاه متبرّر نظريًا قبل ما تجمع البيانات، والأثر في الاتجاه العكسي مالوش معنى (زي إنك تختبر هل دوا جديد بيقلّل — مش بيغيّر — ضغط الدم).

تحذير: إنك تختار اختبار one-tailed بعد ما تشوف البيانات مايلة لاتجاه معيّن ده تلاعب بالبيانات وبيبوّظ الاختبار.

الخطوات الكاملة للاختبار

الـ hypothesis test المظبوط بيمشي بترتيب خطوات محدد، كلها بتتحدد قبل ما تحلّل البيانات:

الـ 6 خطوات

1. اكتب الفرضيات: حدّد H₀ وH₁ بالـ parameter اللي يهمّك.

2. اختار مستوى الـ significance: حدّد α قبل ما تشوف البيانات (مثلًا 0.05).

3. اختار الاختبار: اختار الـ test statistic المناسب لنوع بياناتك وفرضيتك.

4. اتأكد من الافتراضات: اتأكد إن شروط الاختبار متحققة (زي الـ normality والاستقلالية).

5. احسب الـ test statistic والـ p-value: طبّق المعادلة على بياناتك.

6. قرّر وفسّر: لو p ≤ α، ارفض H₀. وقول حجم الأثر جنب الـ p-value.

أهم النقط

H₀ قصاد H₁: H₀ هي الافتراض المتشكك (مفيش أثر)؛ وH₁ هي اللي بتدوّر على دليل ليها. عمرك ما بتثبت H₀ — بس بترفضها أو بتفشل في رفضها.
الـ test statistic: رقم بيلخّص البيانات بعيدة عن H₀ قد إيه. لاختبار mean الـ population: Z = (x̄ − μ₀) / (σ/√n).
الـ p-value: احتمال بيانات متطرفة على الأقل قد اللي اتشافت، على افتراض إن H₀ صح. ومش احتمال إن H₀ صح.
مستوى الـ significance α: عتبة متحددة من الأول (مثلًا 0.05). ارفض H₀ لو p ≤ α.
الـ Type I error: رفض H₀ وهي صح؛ الاحتمال = α. والـ Type II error: الفشل في رفض H₀ وهي غلط؛ الاحتمال = β.
الـ power = 1 − β: احتمال إنك تلقط أثر حقيقي. بتعلى مع n أكبر وحجم أثر أكبر وα أعلى.
الاختبار الـ two-tailed: H₁: μ ≠ μ₀ (الافتراضي). الـ one-tailed: H₁: μ > أو < μ₀ (محتاج مبرّر اتجاهي من الأول).