الـ continuous distributions المشهورة | STAT-101

من العدّ للقياس

في الدرس اللي فات درسنا distributions بتعدّ الحاجات — النجاحات في المحاولات، والوصول في فترة زمنية، والمحاولات لحد النجاح. دلوقتي هننقل للـ continuous random variables (المتغيرات العشوائية المستمرة) اللي بتعمل model لكميات بنقيسها مش بنعدّها: الطول، والوقت، ودرجة الحرارة، والسعر، والمسافة.

للـ continuous random variable X، مش بندّي احتمال للقيم الفردية — احتمال إن X يساوي بالظبط 3.14159 بيساوي صفر. بدل كده الاحتمالات بتتدّي للـ فترات عن طريق الـ probability density function (PDF). دالة الكثافة بتحقق f(x) ≥ 0 و∫ f(x) dx = 1، وP(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx.

في الدرس ده هنستعرض 6 continuous distributions أساسية: الـ uniform، والـ normal (الـ Gaussian)، والـ exponential، والـ gamma، والـ beta، والـ log-normal. ومع بعض بيغطّوا مدى واسع من مسائل الهندسة والعلوم وتحليل البيانات.

الـ uniform distribution

أبسط continuous distribution بيدّي نفس كثافة الاحتمال لكل نقطة في الفترة [a, b]. ده الـ uniform distribution (التوزيع المنتظم). لو عارف إن القيمة بين a وb ومفيش سبب تفضّل حتة على حتة، يبقى الـ uniform هو الاختيار الأمين.

أمثلة: مكان نقطة عشوائية على خط مستقيم، وزاوية الـ phase لموجة حاملة من غير تعديل، وخطأ التقريب لما تحوّل رقم حقيقي لعدد معيّن من الأرقام العشرية.

الـ PDF بتاعة الـ uniform

f(x) = \dfrac{1}{b-a}, \quad a \le x \le b

f(x) ثابتة على [a, b] وصفر برّاها. القيمة الثابتة 1/(b − a) بتضمن إن المساحة الكلية تساوي 1.

الـ mean

E[X] = \dfrac{a+b}{2}

نص الفترة

الـ variance

\text{Var}(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}

الـ variance بيكبر كل ما الفترة توسع

الـ normal distribution (الـ Gaussian)

مفيش distribution في الإحصاء كله أهم من الـ normal distribution (التوزيع النظامي) — منحنى الجرس المشهور. بيظهر في كل حتة: أطوال الناس في population، وأخطاء القياس في الأجهزة العلمية، وعوائد الأصول المالية على فترات قصيرة، والـ noise في الدواير الإلكترونية، وظواهر مالهاش عدد.

الـ normal distribution بيتحدد بـ parameters اتنين: الـ mean μ (اللي بيتحكم في المركز) والـ standard deviation σ (اللي بيتحكم في الانتشار). الـ PDF بتاعته على شكل جرس متماثل حوالين μ وممتد في الاتجاهين لـ ±∞.

الـ PDF بتاعة الـ normal

f(x) = \dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

μ هو الـ mean (المكان) وσ > 0 هو الـ standard deviation (المقياس). المعامل 1/(σ√2π) بيظبط المساحة عشان تساوي 1.

قاعدة 68-95-99.7

لأي normal distribution N(μ, σ²):

• حوالي 68% من القيم بتقع جوه μ ± 1σ

• حوالي 95% من القيم بتقع جوه μ ± 2σ

• حوالي 99.7% من القيم بتقع جوه μ ± 3σ

القاعدة دي بتخلّيك تقدّر الاحتمالات بسرعة من غير ما ترجع لجداول.

ليه الـ normal distribution بيظهر في كل حتة؟ الإجابة هي الـ central limit theorem (نظرية النهاية المركزية) (موضوع الدرس الجاي): مجموع random variables مستقلين ليهم نفس الـ distribution بيقرب من الـ normal مهما كان الـ distribution الأصلي، بشرط إن الـ variance يبقى محدود. أي كمية متقاسة طالعة من مجموع تأثيرات صغيرة مستقلة كتير بتميل تبقى normal.

الـ standard normal والـ Z-scores

الـ standard normal distribution (التوزيع النظامي القياسي) Z ~ N(0, 1) الـ mean بتاعه 0 والـ variance بتاعه 1. وهو الـ normal المرجعي اللي كل الـ normal distributions التانية بتتشتق منه. أي متغير normal X ~ N(μ, σ²) ممكن يتحوّل لـ Z بالتحويل:

الـ Z-score

Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}

الـ Z-score بيقيس X بعيد عن الـ mean بتاعه بكام standard deviation. Z الموجبة معناها فوق الـ mean؛ وZ السالبة معناها تحته.

الـ Z-scores مفيدة جدًا لما تقارن مشاهدات من normal distributions مختلفة. طالب جاب 75 في امتحان متوسطه 65 والانحراف 10 عنده Z = 1.0. وطالب جاب 120 في اختبار ذكاء متوسطه 100 والانحراف 15 عنده Z = 1.33. الطالب التاني أبعد عن الـ mean في الـ population بتاعته مع إن درجته المطلقة على مقياس الاختبار أقل.

الـ CDF بتاعة Z، Φ(z) = P(Z ≤ z)، بتدّي المساحة تحت الـ PDF بتاعة الـ standard normal من −∞ لـ z. ولأي متغير normal: P(X ≤ x) = Φ((x − μ) / σ).

الـ exponential distribution

زي ما الـ geometric distribution بيعمل model لعدد المحاولات الـ discrete لحد أول نجاح، الـ exponential distribution (التوزيع الأسي) هو النسخة الـ continuous منه: بيعمل model لـ وقت الانتظار لحد أول حدث في Poisson process. لو الأحداث بتوصل بمعدل λ في وحدة الزمن، يبقى وقت الانتظار لحد أول حدث ماشي على Exponential(λ).

تطبيقاته كتير: عمر قطعة إلكترونية قبل ما تبوظ، والوقت بين وصول زبونين ورا بعض لشباك خدمة، والفجوة بين الزلازل في منطقة نشطة، والوقت لحد ما ذرة مشعة تتحلل.

الـ PDF بتاعة الـ exponential

f(x) = \lambda\,e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0

λ > 0 هو الـ rate parameter. دالة الكثافة بتبدأ عند λ لما x = 0 وبتقل بشكل أسي. والـ CDF: F(x) = 1 − e^−λx.

الـ mean

E[X] = \dfrac{1}{\lambda}

متوسط وقت الانتظار بيساوي 1/λ

الـ variance

\text{Var}(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}

الـ standard deviation كمان بيساوي 1/λ

زي الـ geometric، الـ exponential memoryless (فاقد للذاكرة): P(X > s + t | X > s) = P(X > t). لو الجهاز شغّال بقاله s ساعة من غير عطل، يبقى توزيع عمره الباقي هو نفسه وهو جديد. ومن بين الـ continuous distributions، الـ exponential هو الوحيد اللي ملوش ذاكرة.

الـ gamma distribution

الـ gamma distribution (توزيع غاما) بيعمّم الـ exponential بنفس الطريقة اللي الـ negative binomial بيعمّم بيها الـ geometric: بيعمل model لوقت الانتظار لحد الحدث رقم k في Poisson process. بيتحدد بـ shape parameter k > 0 وrate parameter λ > 0.

الـ PDF بتاعة الـ gamma

f(x) = \dfrac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}, \quad x \ge 0

Γ(k) هي الـ gamma function، وبتعمّم الـ factorial: Γ(k) = (k − 1)! للأعداد الصحيحة الموجبة k. وعند k = 1، الـ gamma بيرجّع الـ exponential.

الـ mean

E[X] = \dfrac{k}{\lambda}

متوسط الوقت لحد k أحداث

الـ variance

\text{Var}(X) = \dfrac{k}{\lambda^2}

انتشار وقت الانتظار لـ k أحداث

عيلة الـ gamma مرنة جدًا. لما k عدد صحيح، هي مجموع k متغير Exponential(λ) مستقلين. والحالة الخاصة k = n/2 وλ = 1/2 بتطلّع الـ chi-squared distribution (توزيع كاي تربيع) بـ n degrees of freedom، المنتشر في اختبارات الفرضيات وبناء الـ confidence intervals.

الـ beta distribution

الـ beta distribution (توزيع بيتا) عايش على الفترة [0, 1] وهو الـ distribution الطبيعي لعمل model لـ احتمالات الاحتمالات — أو بشكل أعم، أي كمية لازم تبقى بين 0 و1، زي النسب ومعدلات النجاح والكسور.

ده الـ conjugate prior (الأولوية المترافقة) للـ binomial في الإحصاء البايزي: لو اعتقادك المسبق عن احتمال نجاح p هو Beta(α, β)، وشفت k نجاح في n محاولة، يبقى الـ posterior هو Beta(α + k, β + n − k). وقاعدة التحديث الأنيقة دي بتخلّي الـ beta مالوش بديل في اختبار A/B البايزي.

الـ PDF بتاعة الـ beta

f(x) = \dfrac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}, \quad 0 \le x \le 1

α > 0 وβ > 0 هما الـ shape parameters. وB(α, β) = Γ(α)Γ(β)/Γ(α+β) هي الـ beta function اللي بتضمن الـ normalization.

شكل الـ beta distribution مرن جدًا. Beta(1, 1) هو الـ uniform. وBeta(α, β) مع α < 1 وβ < 1 بيطلّع شكل U. ومع α = β > 1 الـ distribution متماثل وشبه الجرس. ومع α > β بيميل للشمال؛ ومع α < β بيميل لليمين.

الـ log-normal distribution

لو X ماشي على normal distribution، يبقى Y = e^X ماشي على الـ log-normal distribution (التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي). وبمعنى تاني، Y يبقى log-normal لو log(Y) يبقى normal. الـ distribution ده right-skewed وعايش على (0, ∞)، وده بيخلّيه مناسب للكميات اللي دايمًا موجبة وطالعة من عمليات ضرب.

أمثلة: أسعار الأسهم (العوائد اليومية بالنسبة المئوية تقريبًا normal، فالأسعار بتتضرب ← log-normal)، والدخل، وأحجام الكائنات الحية، وأحجام النقط في الـ aerosols، وأحجام الملفات على الكمبيوتر.

الـ mean

E[Y] = e^{\mu + \sigma^2/2}

μ وσ هما الـ mean والـ standard deviation بتوع log(Y)

الـ variance

\text{Var}(Y) = (e^{\sigma^2}-1)\,e^{2\mu+\sigma^2}

الـ variance بيكبر بسرعة مع σ

اختيار الـ continuous distribution المناسب

كل continuous distribution شايل حكاية توليد. لما تعرف الحكاية الصح لبياناتك بيبان على طول الـ model المناسب.

دليل اختيار الـ distribution

احتمال متساوي على فترة محدودة ← Uniform(a, b)

مجموع تأثيرات صغيرة مستقلة كتير؛ شكل جرس ← Normal(μ, σ²)

وقت الانتظار لأول حدث في Poisson process ← Exponential(λ)

وقت الانتظار للحدث رقم k في Poisson process ← Gamma(k, λ)

model لاحتمال أو نسبة في [0, 1] ← Beta(α, β)

موجب، right-skewed، من عملية ضرب ← LogNormal(μ, σ²)

التشخيص العملي: ارسم histogram لبياناتك وبص على الشكل. لو متماثل وشبه الجرس، جرّب الـ normal. لو right-skewed ومحدود من تحت بالصفر، جرّب الـ exponential أو الـ gamma أو الـ log-normal — خد الـ log وشوف هيبان normal ولا لأ. ولو البيانات في (0, 1)، جرّب الـ beta.

أهم النقط

Uniform(a, b): كثافة ثابتة على [a, b]. الـ mean = (a + b)/2. أكتر continuous distribution محايد على فترة معروفة.
Normal(μ, σ²): منحنى الجرس. متماثل، وبيتحدد بالـ mean والـ variance. قاعدة 68-95-99.7: 68% و95% و99.7% من الكتلة جوه 1 و2 و3 standard deviations من الـ mean.
الـ standard normal Z ~ N(0,1): أي متغير normal بيتحوّل لـ Z عن طريق Z = (X − μ)/σ. والـ CDF Φ(z) بتدّي احتمالات الديول.
Exponential(λ): وقت الانتظار لأول حدث Poisson. الـ mean = 1/λ. الـ continuous distribution الوحيد اللي ملوش ذاكرة. F(x) = 1 − e^−λx.
Gamma(k, λ): وقت الانتظار للحدث رقم k في Poisson process. بيعمّم الـ exponential. والـ chi-squared حالة خاصة منه. شكله مرن جدًا.
Beta(α, β): بيعمل model للاحتمالات والنسب على [0,1]. الـ conjugate prior للـ binomial. والـ uniform هو Beta(1,1).
LogNormal(μ, σ²): Y يبقى log-normal لو وبس لو log(Y) يبقى normal. right-skewed، موجب، وطالع من عمليات ضرب. بيعمل model لأسعار الأسهم والدخل وأحجام الكائنات.