STAT 101
M04 · L04
الوحدة 4 · الدرس 4

الـ central limit theorem

أهم نظرية في الإحصاء — الـ central limit theorem (نظرية النهاية المركزية). بتفسّر ليه المتوسطات دايمًا normal — مهما كان شكل الـ population.

01 / 13
STAT 101
M04 · L04
الإعداد

متوسطات الـ samples random variables

اسحب n مشاهدة، احسب X̄. كرّر — هيطلعلك X̄ مختلف. توزيع كل قيم X̄ الممكنة هو الـ sampling distribution (توزيع أخذ العينات).

E[X̄]
μ (دايمًا)
Var(X̄)
σ² / n
02 / 13
STAT 101
M04 · L04
الصياغة الرسمية

الـ CLT: التقارب للـ normal

لـ random variables i.i.d. بـ mean μ وvariance محدود σ²، لما n → ∞:

الـ central limit theorem
Z_n = \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
03 / 13
STAT 101
M04 · L04
أي population، نفس النتيجة

3 populations، شكل واحد

  • Uniform[0,1]: شكل جرس خلاص عند n = 5
  • Exponential(1): normal تقريبًا عند n = 30
  • Bernoulli(0.3): normal عند n = 30
النمط
الـ populations الـ skewed بتتقارب أبطأ من المتماثلة
تفاعلي: اختار population وكبّر الـ sample size وشوف المتوسطات بتبقى normal — معمول بالذكاء الاصطناعي، بالإنجليزي
04 / 13
STAT 101
M04 · L04
السؤال العملي

الـ sample تبقى كفاية إمتى؟

  • population متماثل: n = 5–10 كفاية
  • skew متوسط: القاعدة n ≥ 30
  • skew جامد / heavy tails: n = 100+
  • النسب: np ≥ 10 وn(1−p) ≥ 10
05 / 13
STAT 101
M04 · L04
انتشار الـ sampling distribution

الـ standard error

متوسطات الـ samples بتختلف قد إيه من sample للتانية؟ ده الـ standard error (الخطأ المعياري).

الـ standard error
\text{SE}(\bar{X}) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
قانون الجذر التربيعي
عشان تقلّل الـ SE للنص: كبّر n أربع مرات
06 / 13
STAT 101
M04 · L04
الصورة العملية

X̄ normal تقريبًا

لـ n كبير، بنكتب:

التوزيع التقريبي
\bar{X} \doteq N\!\left(\mu,\,\tfrac{\sigma^2}{n}\right)

وده بيبرّر استخدام الـ Z-scores وجداول الـ normal لمتوسطات الـ samples.

07 / 13
STAT 101
M04 · L04
حالة خاصة جوهرية

الـ CLT للنسب

p̂ مجرد sample mean لمتغيرات 0/1 — فالـ CLT بتنطبق على طول:

الـ CLT للنسب
\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{p(1-p)/n}} \xrightarrow{d} N(0,1)
08 / 13
STAT 101
M04 · L04
الـ CLT بتشغّل كل الاستدلال

التطبيقات الحقيقية

  • الـ confidence intervals: X̄ ± 1.96 × SE
  • اختبارات Z وt للمتوسطات
  • اختبارات A/B واستطلاعات الرأي
  • مراقبة الجودة: نسبة البايظ
  • الاستدلال على الـ regression coefficients
09 / 13
STAT 101
M04 · L04
ليه منحنى الجرس كوني

الـ normal عامل جذب

  • الأطوال = مجموع تأثيرات وراثية وبيئية
  • خطأ القياس = مجموع اضطرابات صغيرة كتير
  • الـ noise الإلكتروني = أحداث دقيقة مش مرتبطة ببعض
السبب
الـ CLT: مجاميع تأثيرات مستقلة → normal
10 / 13
STAT 101
M04 · L04
النظرية مش بتقول إيه

غلطات مشهورة

  • البيانات الخام مش بتبقى normal — المتوسطات بس هي اللي بتتقارب
  • الـ CLT بتفشل مع الـ distributions اللي الـ variance بتاعها لا نهائي (زي Cauchy)
  • «n ≥ 30» قاعدة إرشادية، مش قانون — اتأكد من الـ skew
  • n كبير مش بيصلّح الـ samples المتحيزة
11 / 13
STAT 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

4 أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
STAT 101
الخلاصة
مراجعة

اتعلّمت إيه

الـ CLT: متوسطات الـ samples بتتقارب للـ normal لأي population الـ variance بتاعه محدود. الـ standard error = σ/√n. والـ CLT هي أساس كل الاستدلال الكلاسيكي.

الوحدة 4 اكتملت
الجاي: الوحدة 5 — التقدير ←
الدرس الجاي كل الدروس اقرا المقالة
13 / 13