الـ discrete distributions المشهورة | STAT-101

تصنيف تجارب العدّ

الطبيعة مليانة تجارب عدّ. كام زبون بيوصل في الساعة؟ كام محاولة لحد أول عيب؟ كام زلزال بيضرب منطقة كل سنة؟ كل موقف من دول ليه model رياضي طبيعي — discrete distribution (توزيع متقطع) ليه اسم خصايصه معروفة كويس والـ parameters بتاعته ليها معنى عملي على طول.

إنك تتعلّم الـ distributions دي مش حفظ وخلاص. كل distribution شايل حكاية عن البيانات بتتولد إزاي. لما تعرف الحكاية اللي ورا بياناتك، بتعرف على طول الـ model الصح والـ expected value بتاعته والـ variance بتاعه وإزاي تحسب أي احتمال محتاجه.

في الدرس ده هندرس 5 discrete distributions أساسية: Bernoulli، والـ binomial، والـ Poisson، والـ geometric، والـ negative binomial. ومع بعض بيغطّوا مدى واسع من مسائل العدّ في الواقع.

الـ Bernoulli distribution

أبسط random variable ممكن بياخد قيمتين بس: 1 (نجاح) باحتمال p، و0 (فشل) باحتمال 1 − p. ده الـ Bernoulli distribution (توزيع برنولي)، واتسمّى على اسم الرياضي السويسري ياكوب برنولي.

أي نتيجة ليها احتمالين في الإحصاء — رمية عملة، إجابة آه/لأ في استطلاع، قطعة مصنوعة نجحت في الفحص، مريض خف — هي Bernoulli trial (تجربة برنولي). الـ parameter p هو احتمال النجاح، وهو بيحدد الـ distribution بالكامل.

الـ PMF بتاعة Bernoulli

P(X = k) = p^k (1-p)^{1-k}, \quad k \in \{0, 1\}

P(X = 1) = p وP(X = 0) = 1 − p. الـ parameter الوحيد p ∈ (0, 1) هو احتمال النجاح.

الـ mean

E[X] = p

الـ expected value بتساوي احتمال النجاح

الـ variance

\text{Var}(X) = p(1-p)

الـ variance بيوصل لأقصاه عند p = 0.5

الـ variance p(1 − p) بيوصل لأقصاه 0.25 عند p = 0.5، وبيقرب من الصفر لما p يقرب من 0 أو 1. وده منطقي: العملة المتحيزة جامد (بتطلع صورة تقريبًا دايمًا) أسهل تتوقعها، فالـ variance بتاعها أقل من العملة العادلة.

الـ binomial distribution

افترض إنك بتكرر Bernoulli trial n مرة بشكل مستقل، وبنفس احتمال النجاح p في كل مرة. الـ binomial distribution (التوزيع الثنائي) بيعمل model لإجمالي عدد النجاحات في كل الـ n محاولة.

الـ binomial distribution غالبًا أهم discrete distribution في الإحصاء كله. هو ورا التجارب السريرية (كام مريض بيستجيب للعلاج؟)، ومراقبة الجودة (كام قطعة بايظة في الدفعة؟)، واستطلاعات الانتخابات (كام ناخب بيأيد مرشح؟)، واختبارات A/B.

الـ PMF بتاعة الـ binomial

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

الـ binomial coefficient C(n,k) بيعدّ عدد الطرق اللي تختار بيها أنهي k من الـ n محاولة تبقى نجاحات.

حكاية الـ binomial

الإعداد: n محاولة مستقلة، كل واحدة احتمال نجاحها p.

الـ random variable X: إجمالي عدد النجاحات، X ∈ {0, 1, 2, …, n}.

الافتراض الأساسي: المحاولات مستقلة وكلها بنفس قيمة p.

الـ mean

E[X] = np

متوسط عدد النجاحات في n محاولة

الـ variance

\text{Var}(X) = np(1-p)

انتشار عدد النجاحات حوالين الـ mean

الـ mean np طالع على طول من خطية الـ expectation: X مجموع n متغير Bernoulli(p) مستقلين، كل واحد الـ mean بتاعه p، يبقى E[X] = np. وبنفس الطريقة Var(X) = n × p(1 − p) لأن المحاولات مستقلة.

مثال: افترض إن 30% من الزباين اللي بيوصلهم إيميل ترويجي بيشتروا. لو بعتنا 200 إيميل، عدد المشتريات المتوقع E[X] = 200 × 0.3 = 60، بـ standard deviation σ = √(200 × 0.3 × 0.7) ≈ 6.5.

الـ Poisson distribution

فيه random variables بتعدّ أحداث بتحصل في فترة زمنية أو مكانية محددة — مكالمات بتوصل لكول سنتر في الساعة، حوادث على طريق سريع كل شهر، غلطات كتابة في كل صفحة. لما الأحداث تبقى نادرة نسبيًا ومستقلة، الـ Poisson distribution (توزيع بواسون) بيبقى الـ model الطبيعي.

الـ Poisson distribution ليه parameter واحد λ (لامدا)، وهو المعدل أو متوسط عدد الأحداث في الفترة. واللي يلفت النظر إن الـ mean والـ variance الاتنين بيساووا λ.

الـ PMF بتاعة Poisson

P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\,\lambda^k}{k!}

λ > 0 هو معدل الأحداث. والمدى k = 0, 1, 2, … (من غير حد أعلى).

الـ mean

E[X] = \lambda

الـ mean بيساوي الـ parameter بتاع المعدل λ

الـ variance

\text{Var}(X) = \lambda

الـ variance كمان بيساوي λ — خاصية فريدة

الـ Poisson بيطلع كـ limit للـ binomial لما n يبقى كبير جدًا وp صغير جدًا وnp = λ ثابت. ودي الـ Poisson approximation للـ binomial: لو n ≥ 100 وp ≤ 0.01، يبقى Poisson(λ = np) تقريب ممتاز.

شروط الـ Poisson

الأحداث بتحصل بشكل مستقل عن بعضها.

المعدل λ ثابت طول فترة المتابعة.

مينفعش حدثين يحصلوا في نفس اللحظة بالظبط.

الـ geometric distribution

بدل ما نعدّ النجاحات في عدد ثابت من المحاولات، تعالى نسأل: كام محاولة لحد أول نجاح؟ سؤال وقت الانتظار ده بيوصّلنا للـ geometric distribution (التوزيع الهندسي).

تخيّل إنك بترمي زهرة تاني وتالت لحد ما تجيب 6. هتحتاج كام رمية؟ كل رمية احتمال نجاحها p = 1/6 بشكل مستقل. الـ geometric distribution بيعمل model لعدد المحاولات اللي محتاجها، ومنها المحاولة الناجحة.

الـ PMF بتاعة الـ geometric

P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p

k = 1, 2, 3, … هو رقم المحاولة اللي أول نجاح بيحصل فيها. أول k − 1 محاولات فشل والمحاولة رقم k نجاح.

الـ mean

E[X] = \dfrac{1}{p}

متوسط المحاولات لحد أول نجاح

الـ variance

\text{Var}(X) = \dfrac{1-p}{p^2}

انتشار وقت الانتظار

الـ geometric distribution ليه خاصية حلوة اسمها الـ memorylessness (فقدان الذاكرة): لو عرفت إنك فشلت k مرات خلاص، توزيع المحاولات الزيادة اللي محتاجها بيفضل زي ما تكون بادئ من الصفر. ومن بين الـ discrete distributions، الـ geometric هو الوحيد اللي ملوش ذاكرة.

لـ p = 1/6، E[X] = 6 — محتاج في المتوسط 6 رميات عشان تجيب 6. ولـ p = 0.01 (حدث نادر بنسبة 1 من 100)، E[X] = 100 — محتاج حوالي 100 محاولة في المتوسط.

الـ negative binomial distribution

الـ geometric بيسأل: كام محاولة لحد أول نجاح؟ والـ negative binomial distribution (التوزيع الثنائي السالب) بيعمّم ده لـ: كام محاولة لحد النجاح رقم r؟ ده الـ model الطبيعي لما تحتاج تستنى كذا نجاح.

أمثلة من الواقع: كام محاولة تصنيع قبل ما تطلّع r وحدة مقبولة؟ كام مريض لازم تجنّدهم قبل ما r منهم يستجيبوا للعلاج؟ كام إيميل لازم تبعت قبل r تحويلات؟

الـ PMF بتاعة الـ negative binomial

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

k ≥ r هو المحاولة اللي النجاح رقم r بيحصل فيها. وC(k−1, r−1) بيعدّ ترتيبات أول r−1 نجاحات بين أول k−1 محاولة.

الـ mean

E[X] = \dfrac{r}{p}

متوسط المحاولات عشان توصل لـ r نجاحات

الـ variance

\text{Var}(X) = \dfrac{r(1-p)}{p^2}

انتشار وقت الانتظار لـ r نجاحات

الـ negative binomial مع r = 1 بيرجّع الـ geometric distribution، زي ما متوقع. وتقدر كمان تعتبره مجموع r متغير Geometric(p) مستقلين: خطية الـ expectation بتدّيك الـ mean r/p والـ variance r(1 − p)/p² على طول.

اختيار الـ distribution المناسب

كل distribution من الخمسة اللي درسناهم بيقابل حكاية توليد معيّنة. إنك تعرف أنهي حكاية ماشية مع بياناتك هي المهارة الأساسية في الإحصاء التطبيقي.

دليل اختيار الـ distribution

محاولة واحدة ليها احتمالين (نجاح/فشل، رمية واحدة) ← Bernoulli(p)

عدد ثابت من المحاولات المستقلة، وبتعدّ النجاحات ← Binomial(n, p)

عدّ أحداث نادرة مستقلة في فترة ثابتة ← Poisson(λ)

كام محاولة لحد أول نجاح؟ ← Geometric(p)

كام محاولة لحد النجاح رقم r؟ ← NegBinomial(r, p)

فحص تشخيصي سريع: لو الـ mean والـ variance بتوع بياناتك قريبين من بعض، يبقى الـ Poisson مرشح قوي. لو الـ variance أكبر بكتير من الـ mean (overdispersion أو فرط التشتت)، الـ negative binomial غالبًا هيناسب أحسن. ولو الـ variance أصغر بكتير من الـ mean (underdispersion)، اتأكد من افتراض الاستقلالية.

عشان تقدّر الـ parameters: للـ binomial، قدّر p = (النجاحات اللي شفتها) / n. للـ Poisson، قدّر λ = الـ mean بتاع الـ sample. للـ geometric، قدّر p = 1 / الـ mean بتاع الـ sample. ودي تقديرات الـ maximum likelihood (الإمكانية العظمى).

أهم النقط

Bernoulli(p): محاولة واحدة ليها احتمالين. الـ mean = p، والـ variance = p(1 − p). الطوبة الأساسية لكل الـ discrete distributions.
Binomial(n, p): عدد النجاحات في n محاولة Bernoulli مستقلة. الـ mean = np، والـ variance = np(1 − p).
Poisson(λ): عدد أحداث نادرة مستقلة في فترة ثابتة. الـ mean = الـ variance = λ. وهو limit للـ binomial لما n → ∞ وp → 0 وnp = λ.
Geometric(p): المحاولات لحد أول نجاح. الـ mean = 1/p، والـ variance = (1 − p)/p². الـ discrete distribution الوحيد اللي ملوش ذاكرة.
NegBinomial(r, p): المحاولات لحد النجاح رقم r. الـ mean = r/p، والـ variance = r(1 − p)/p². مجموع r متغير Geometric(p) مستقلين.
لما تعرف الحكاية اللي ورا بياناتك بتعرف على طول الـ model الصح والـ parameters بتاعته وكمياته الأساسية.
mean ≈ variance ⇒ فكّر في Poisson. variance ≫ mean ⇒ فكّر في negative binomial. discrete + n ثابت ⇒ فكّر في binomial.