الـ random variables
الكوبري بين الـ probability والأرقام. كل model إحصائي بيتكلم بلغة الـ random variables (المتغيرات العشوائية).
مش variable. دي دالة.
الـ random variable X بيدّي لكل نتيجة ω في الـ sample space رقم حقيقي. العشوائية جاية من التجربة، مش من X نفسه.
discrete قصاد continuous
قيم تتعد أو محدودة
متصل متتعدّش
الـ probability mass function
p(x) = P(X = x). قد إيه من كتلة الـ probability قاعدة عند كل نقطة؟ ودي الـ PMF (دالة كتلة الاحتمال).
الـ probability density function
الاحتمال = المساحة تحت f(x) — ودي الـ PDF (دالة كثافة الاحتمال). القيمة f(x) نفسها كثافة مش احتمال — ممكن تعدّي 1.
الـ cumulative distribution function
F(x) = P(X ≤ x) — ودي الـ CDF (دالة التوزيع التراكمي). بتجمّع الـ probability لحد x. قيمتها دايمًا بين 0 و1 وعمرها ما بتقل.
الـ expected value
E[X] هو الـ weighted average بالاحتمالات — نقطة توازن الـ distribution. ودي الـ expected value (القيمة المتوقعة). مش لازم تبقى قيمة ممكن توصلها.
خطية الـ expectation
- E[aX + b] = a·E[X] + b
- E[X + Y] = E[X] + E[Y] دايمًا — حتى لو مرتبطين
- مش محتاج افتراضات independence
- بتستخدم في كل حجة احتمالية تقريبًا
الـ variance والـ standard deviation
Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ². ده الـ variance (التباين)، ووحداته مربع الوحدات. والـ standard deviation (الانحراف المعياري) σ = √Var(X) بيرجّع الوحدات الأصلية.
الـ LOTUS: من غير ما تشتق من الأول
E[g(X)] = ∑ g(x) p(x). طبّق g على كل قيمة من X وادّيها وزن بـ P(X = x). الـ variance هو LOTUS مع g(x) = (x − μ)².
كل model هو random variable
- الـ regression: Y = f(X) + ε، والـ ε هنا random variable
- اختبارات الفرضيات بتستخدم الإحصاءات كـ random variables
- بيفصل الـ model عن التجربة المعيّنة
- صندوق أدوات مشترك لمسائل مالهاش عدد
اتعلّمت إيه
الـ random variables، والـ PMF، والـ PDF، والـ CDF، والـ expected value، وخطية الـ expectation، والـ variance، والـ standard deviation، والـ LOTUS — اللغة الأساسية للـ probability.