الـ random variables | STAT-101

الكوبري بين الـ probability والقياس

نظرية الـ probability بتدّينا أدوات نفكّر بيها في عدم اليقين. بس البيانات الحقيقية أرقام — نتايج رمي العملة بتبقى أصفار وواحدات، ونتايج الزهرة أعداد صحيحة من 1 لـ 6، والأطوال قياسات بالسنتيمتر. والكوبري بين الـ probability المجردة والأرقام اللي تتقاس هو الـ random variable (المتغير العشوائي).

الـ random variable مش variable بالمعنى الجبري، ومش عشوائي بمعنى اعتباطي. هو دالة بتدّي لكل نتيجة من نتايج الـ random experiment رقم حقيقي. الفكرة اللي شكلها بسيط دي بتفتحلنا صندوق أدوات ضخم: الـ expected values، والـ variance، ودوال الـ distribution، وفي الآخر ماكينة الاستدلال الإحصائي كلها.

التعريف الرسمي

الـ random variable X هو دالة X : Ω → ℝ بتدّي رقم حقيقي X(ω) لكل نتيجة ω في الـ sample space Ω. العشوائية جاية من التجربة الأساسية، مش من X نفسه.

X(ω) = القيمة الرقمية اللي اتدّت للنتيجة ω

الـ random variables الـ discrete والـ continuous

التفرقة الأساسية بين الـ random variables هي هل بياخد مجموعة قيم تتعد ولا مجموعة متصلة متتعدّش.

الـ discrete random variable (المتغير العشوائي المتقطع) بياخد قيم من مجموعة محدودة أو تتعد حتى لو مالهاش نهاية: عدد الصور في 10 رميات عملة، عدد العيوب على بوردة إلكترونية، عدد الزباين اللي بيوصلوا في ساعة. تقدر تعدّ القيم الممكنة حتى لو الليستة مالهاش آخر.

الـ continuous random variable (المتغير العشوائي المستمر) بياخد قيم من فترة متتعدّش: الجهد بالظبط لإشارة، الوقت لحد الزلزال الجاي، درجة الحرارة الضهر بكرة. بين أي قيمتين ممكنين فيه قيم ممكنة مالهاش عدد، ومينفعش تعدّها.

الفرق الأساسي

discrete: بيعدّ الحاجات. القيم نقط منفصلة. الاحتمالات بتتدّي لقيم فردية.

continuous: بيقيس الحاجات. القيم بتملا فترة. احتمال أي قيمة واحدة بالظبط بيساوي صفر — الفترات بس هي اللي ليها احتمال مش صفر.

الـ probability mass function (PMF)

للـ discrete random variable X، الـ probability mass function (دالة كتلة الاحتمال) أو PMF بتقولك احتمال إن X يساوي كل قيمة معيّنة x. بتجاوب على سؤال: قد إيه من كتلة الـ probability قاعدة عند كل نقطة؟

الـ PMF

p(x) = P(X = x)

p(x) بتدّي احتمال إن الـ random variable X ياخد القيمة المعيّنة x. الـ PMF لازم تبقى مش سالبة ومجموعها 1 على كل القيم الممكنة.

الـ PMF لازم تحقق شرطين: p(x) ≥ 0 لكل x، ومجموع p(x) على كل القيم الممكنة يساوي 1. ودي مجرد الـ axioms بتاعة الـ probability مترجمة للغة الدوال.

مثال بسيط: ارمي زهرة عادلة بستة أوجه. الـ random variable X = النتيجة بياخد القيم {1, 2, 3, 4, 5, 6}، وكل واحدة الـ PMF بتاعتها p(x) = 1/6. الـ PMF هنا دالة مفرودة — uniform distribution على 6 نقط.

الـ probability density function (PDF)

للـ continuous random variable X، مينفعش ندّي احتمال موجب لنقط فردية — هي متتعدّش، والاحتمالات لازم مجموعها يبقى 1. بدل كده بنستخدم الـ probability density function (دالة كثافة الاحتمال) أو PDF، ونرمزلها بـ f(x)، وهي بتوصف الـ probability متوزعة إزاي على المحور الحقيقي.

الـ PDF f(x) مش احتمال في حد ذاتها. الاحتمال هو المساحة تحت منحنى الكثافة. عشان تجيب احتمال إن X يقع في الفترة [a, b]، اعمل integration للـ PDF على الفترة دي.

الـ PDF

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx

احتمال إن X يقع في [a, b] هو المساحة تحت f(x) بين a وb. والمساحة الكلية تحت الـ PDF لازم تساوي 1.

الـ PDF لازم تحقق إن f(x) ≥ 0 في كل حتة، وإن التكامل على ℝ كلها يساوي 1. وعلى عكس الـ PMF، قيمة الـ PDF f(x) ممكن تعدّي الواحد عند نقطة — هي كثافة مش احتمال. فكّر فيها زي كثافة الكتلة: منطقة صغيرة كثافتها عالية بتشيل احتمال كتير جواها.

الـ cumulative distribution function (CDF)

الـ random variables الـ discrete والـ continuous الاتنين ليهم cumulative distribution function (دالة التوزيع التراكمي) أو CDF، ونرمزلها بـ F(x). الـ CDF بتجاوب على سؤال: احتمال إن X يبقى x بالكتير قد إيه؟ بتجمّع الـ probability من سالب ما لا نهاية لحد x.

الـ CDF

F(x) = P(X \le x)

F(x) مش بتقل أبدًا، بتقرب من 0 لما x → −∞، وبتقرب من 1 لما x → +∞. للمتغيرات الـ continuous، F(x) = ∫ f(t) dt من −∞ لـ x.

الـ CDF عمرها ما بتقل لأن تجميع الـ probability عمره ما بينقّص الإجمالي. بتبدأ من 0 وبتخلص عند 1. للمتغير الـ discrete، الـ CDF دالة سلّمية بتنط عند كل قيمة ممكنة. وللمتغير الـ continuous، هي منحنى ناعم على شكل S.

الـ CDF مفيدة بالذات في حساب احتمالات الفترات. P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a).

الـ expected value

الـ expected value (القيمة المتوقعة) E[X]، واسمها كمان الـ mean أو الـ expectation، هي متوسط قيمة الـ random variable على المدى الطويل لو التجربة اتكررت مرات كتير مستقلة. هي weighted average لكل القيم الممكنة، والأوزان هي احتمالاتها.

الـ expected value (discrete)

E[X] = \sum_x x\,p(x)

مجموع كل قيمة مضروبة في احتمالها

الـ expected value (continuous)

E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\,f(x)\,dx

تكامل x مضروب في كثافة الاحتمال

الـ expected value مش لازم تبقى قيمة X ممكن ياخدها فعلًا. لو رميت زهرة عادلة، E[X] = 3.5، بس الزهرة عمرها ما هتقع على 3.5. فكّر في E[X] على إنها نقطة توازن الـ probability distribution.

الـ expected value linear (خطية): E[aX + b] = a E[X] + b، وE[X + Y] = E[X] + E[Y] لأي اتنين random variables X وY. الخطية دي من أقوى الأدوات في الـ probability، وبتنطبق حتى لو X وY مرتبطين ببعض.

الـ variance والـ standard deviation

الـ expected value بتقولك مركز الـ distribution، بس مش بتقولك منتشر قد إيه. الـ variance (التباين) Var(X) بيقيس الانتشار ده بإنه يحسب متوسط مربع الانحراف عن الـ mean.

الـ variance

\text{Var}(X) = E\!\left[(X-\mu)^2\right] = E[X^2] - (E[X])^2

الصيغة الحسابية E[X²] − (E[X])² عادةً أسهل في الحساب. ووحدات الـ variance هي مربع وحدات X.

ليه مربعات الانحرافات؟ استخدام الانحرافات المطلقة |X − μ| أقل راحة رياضيًا لأن دالة القيمة المطلقة مش قابلة للتفاضل عند الصفر. أما مربعات الانحرافات فبتوصّل لمعادلات أسهل في التحليل.

الـ standard deviation (الانحراف المعياري) σ = √Var(X) بيرجّع وحدات القياس الأصلية، فبيبقى أسهل في التفسير. لو X بيمثّل الأطوال بالسنتيمتر، يبقى Var(X) بـ سم²، لكن σ بـ سم.

خصايص الـ variance

Var(X) ≥ 0 دايمًا. وVar(X) = 0 لو وبس لو X ثابت (مفيش انتشار خالص).

Var(aX + b) = a² Var(X) — الإزاحة بـ b مش بتغيّر الانتشار، والتكبير بـ a بيربّع الـ variance.

للـ random variables المستقلة: Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y).

دوال الـ random variables

لو X random variable وg دالة، يبقى Y = g(X) هو كمان random variable. الـ expected value بتاعته بتتحسب بـ قانون الإحصائي الغافل (LOTUS): مش محتاج تجيب الـ distribution بتاع Y الأول. بدل كده، طبّق g على كل قيمة من X وادّيها وزن باحتمال X.

الـ LOTUS (discrete)

E[g(X)] = \sum_x g(x)\,p(x)

عشان تجيب E[g(X)]، اجمع g(x)·p(x) على كل القيم x — من غير ما تحتاج تشتق الـ distribution بتاع g(X) الأول

الـ LOTUS هو اللي بيخلّي معادلة الـ variance تشتغل: Var(X) = E[(X − μ)²] هي مجرد E[g(X)] لما g(x) = (x − μ)².

ليه الـ random variables هي اللغة الأساسية للإحصاء

تجريد الـ random variable قوي لأنه بيفصل الـ probability model الأساسي عن الأرقام المعيّنة اللي بنشوفها. أول ما تعبّر عن موقف كـ random variable، تقدر تطبّق صندوق أدوات مشترك مهما كانت طبيعة التجربة الأصلية.

كل model إحصائي في الآخر هو كلام عن random variables. الـ linear regression model بيقول إن الـ response Y دالة خطية في الـ predictors ومعاها random variable ε بيمثّل الـ noise. واختبار الفرضية بيسأل هل الـ test statistic اللي شفناها، لو اعتبرناها random variable تحت الـ null hypothesis، ماشية مع اللي متوقعينه.

أهم النقط

الـ random variable دالة بتدّي رقم حقيقي لكل نتيجة random experiment — هو الكوبري بين الـ sample spaces والحساب.
الـ discrete random variables بتاخد قيم تتعد؛ والـ distribution بتاعها بتوصفه الـ PMF: p(x) = P(X = x).
الـ continuous random variables بتاخد قيم على متصل؛ والاحتمال هو مساحة تحت الـ PDF f(x)، مش f(x) نفسها.
الـ CDF: F(x) = P(X ≤ x) بتنطبق على النوعين، ومش بتقل أبدًا، وقيمتها بين 0 و1.
الـ expected value E[X] هي weighted average باحتمالات كل القيم الممكنة — نقطة توازن الـ distribution.
خطية الـ expectation: E[aX + b] = aE[X] + b، وE[X + Y] = E[X] + E[Y] لأي X وY.
الـ variance Var(X) = E[(X − μ)²] بيقيس متوسط مربع الانتشار حوالين الـ mean؛ والـ standard deviation σ = √Var(X) بيرجّع الوحدات الأصلية.