مقاييس الـ central tendency | STAT-101

رقم واحد ينوب عن الكل

قدامك 500 وقت مشوار، أو 10,000 مرتب، أو سنة كاملة من درجات الحرارة اليومية. محدش بيقرا 500 رقم. أول سؤال عند الكل واحد: النص فين؟ والـ measure of central tendency (مقياس النزعة المركزية) هو اللي بيجاوب عليه — قيمة واحدة تنوب عن الدفعة كلها.

سؤال «النص فين؟» ليه أكتر من إجابة صادقة، ودي فكرة الدرس كله. الـ arithmetic mean (المتوسط الحسابي) هو الاختيار الافتراضي في كل حتة، بس هو الافتراضي الغلط لمعدلات النمو، وللسرعات، وللبيانات الـ skewed (الملتوية)، وللفئات. لو اخترت المقياس الغلط مش هيطلعلك error — الملخص بتاعك هيكدب بهدوء وخلاص.

لما الدرس ده يخلص هيبقى معاك 6 أدوات بدل واحدة، وقاعدة تختار بيها بينهم على حسب أرقامك فعلًا عاملة إزاي: مجاميع، ولا نسب، ولا معدلات، ولا رتب، ولا أسامي.

الفكرة الأساسية

مقياس الـ central tendency بيضغط مجموعة بيانات كاملة في رقم واحد. والمقياس الصح مش مسألة ذوق — بيحدده نوع الكمية اللي بتحسب متوسطها.

المتوسط الحسابي · المرجّح · الهندسي · التوافقي · الوسيط · المنوال

الـ arithmetic mean

الـ arithmetic mean هو المقياس اللي الكل عارفه أصلًا: اجمع كل القيم واقسم على عددها. بنكتبه x̄ («إكس بار») للـ sample (العينة) وμ للـ population (المجتمع) — نفس الرموز اللي قابلتها في درس «الـ population قصاد الـ sample».

الـ arithmetic mean

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

اجمع كل مشاهدة واقسم على العدد n — ده الـ mean بتاع الـ sample x̄

خد 5 درجات امتحان: 72، 85، 90، 68، 95. مجموعهم 410، و410 ÷ 5 = 82. ده الـ arithmetic mean، وهو الملخص الصح تمامًا لمجموعة صغيرة من الدرجات القريبة من بعض.

وللـ mean معنى فيزيائي يستاهل تفتكره. حط القيم على خط الأعداد كأنها كتل وزنها واحد: الـ mean هو النقطة اللي لو حطيت عندها نقطة ارتكاز الخط هيتوازن. كل مشاهدة بتزق النقطة دي، وكل واحدة بتزق على قد بعدها عن نقطة التوازن.

وده نفسه نقطة ضعفه. قيمة واحدة تتحط بعيد كفاية بتميّل الرافعة كلها، ومفيش كمية بيانات سليمة على الناحية التانية تقدر تقاومها بالكامل. خلّي الصورة دي في دماغك — هي بالظبط موضوع جزء الـ median.

الـ weighted mean

الـ mean العادي بيعامل كل قيمة كأنها بنفس الأهمية. وكتير جدًا الكلام ده مش صحيح، ولو حسبته كده هيطلعلك رقم غلط وخلاص.

ودي الحالة اللي تستاهل تحفظها. مادة فيها سكشنين. السكشن الأول فيه 10 طلبة ومتوسطه 90. والتاني فيه 40 طالب ومتوسطه 70. متوسط المادة كام؟

لو حسبت متوسط المتوسطين هيطلعلك (90 + 70) ÷ 2 = 80. بس المادة فيها 50 طالب، و40 منهم في مجموعة الـ 70. الدرجة 90 تخص خُمس الدفعة بس، والمتوسط الساذج بيدّيها نص الأصوات.

الـ weighted mean (المتوسط المرجّح)

\bar{x}_w = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}

كل قيمة ليها وزن wₐ — والـ mean العادي هو الحالة الخاصة اللي كل الأوزان فيها متساوية

ادّي كل سكشن وزن على قد حجمه هيطلعلك (10 × 90 + 40 × 70) ÷ 50 = 3700 ÷ 50 = 74. أقل 6 درجات من الإجابة الساذجة. وده مش فرق تقريب؛ ده الفرق بين دفعة تقول عليها قوية ودفعة تقول عليها متعثّرة.

والقاعدة هنا مالهاش استثناء: كل ما تحسب متوسط ملخصات لمجموعات أحجامها مختلفة، ادّي كل مجموعة وزن على قد حجمها. متوسط المتوسطات من غير أوزان من أشهر الغلطات الحسابية في الإحصائيات المنشورة، وبيبقى مش باين خالص أول ما أحجام المجموعات تتشال من التقرير.

والأوزان مش لازم تبقى أعداد. ممكن درجة المادة تبقى 20% واجبات و30% ميدترم و50% فاينال. فلو جبت 95 و78 و84، الـ mean العادي 85.7 بس درجتك هي 0.20 × 95 + 0.30 × 78 + 0.50 × 84 = 84.4. ولما مجموع الأوزان يبقى واحد المقام بيختفي، والـ weighted mean بيبقى مجرد dot product (ضرب داخلي) بين الدرجات والأوزان.

الـ geometric mean

فيه أرقام مش بتتجمع — بتتضرب. معدلات النمو، ونسب الفايدة، والتضخم، والأرقام القياسية، وأي نسبة عمومًا: لو ربطت فترتين ببعض إنت بتضرب معاملاتهم، مش بتجمعهم. ولو حسبت متوسطهم حسابيًا هيطلعلك إجابة عكس بياناتك.

بص هيفشل إزاي. استثمار كسب 50% في السنة الأولى وخسر 40% في التانية. الـ arithmetic mean لـ +50% و−40% هو +5% في السنة، يعني إنت كسبان.

بس إنت مكسبتش. حوّل العائدين لمعاملات نمو: 1.50 و0.60. اربطهم: 1.50 × 0.60 = 0.90. بعد سنتين معاك 90 قرش مقابل كل جنيه بدأت بيه. إنت خسران 10%، والـ arithmetic mean قالك إنك كسبان.

والـ geometric mean (المتوسط الهندسي) هو العلاج. اضرب القيم وخد الجذر النوني لحاصل الضرب.

الـ geometric mean

G = \left(\prod_{i=1}^{n} x_i\right)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

الجذر النوني لحاصل الضرب — أو بنفس المعنى: الـ arithmetic mean للوغاريتمات وبعدين ترجع بالأُس

ولمعاملاتنا: √(1.50 × 0.60) = √0.90 = 0.9487، يعني −5.13% في السنة. اتأكد منه بالطريقة الوحيدة اللي تفرق: 0.9487² = 0.90، ودي حصيلة السنتين بالظبط. الـ geometric mean هو المعدل الثابت اللي بيطلّعلك نفس النتيجة النهائية الحقيقية — ده تعريفه في سطر واحد، وعشان كده عالم الفلوس بيحسب معدلات النمو السنوية المركّبة بالطريقة دي.

وفيه خاصيتين يستاهلوا تحفظهم. الأولى: الـ geometric mean عمره ما بيبقى أكبر من الـ arithmetic mean، ومش بيتساووا إلا لو كل القيم زي بعض. والتانية: محتاج قيم موجبة بالظبط — صفر واحد بيسحب حاصل الضرب لصفر، وقيمة سالبة بتخلّي الجذر مالوش معنى. احسب متوسط معاملات النمو (1.50) مش نسب النمو (+50%)، ومش هتقابل المشكلة دي أبدًا.

وهتقابل المصطلح ده تاني في الوحدة 7. لما تعمل regression (انحدار) على لوغاريتم Y وبعدين ترجّع النتيجة لمقياسها الأصلي، اللي بيطلع هو الـ geometric mean بتاع Y مش الـ arithmetic mean — ودي ملاحظة عابرة في درس «تشخيص الـ regression» مالهاش معنى إلا بعد التعريف اللي فوق.

الـ harmonic mean

وفيه عيلة تالتة من الكميات بتبوّظ الـ arithmetic mean بطريقة مختلفة خالص: المعدلات. السرعة كيلومترات في الساعة، واستهلاك البنزين لترات لكل 100 كم، ومعدل النقل bits في الثانية. دي نسب ليها مقام، ولو حسبت متوسطها كأرقام عادية بتتجاهل المقام خالص.

والحالة الكلاسيكية: سايق 60 كم لموقع شغل بسرعة 30 كم/س، وراجع نفس المسافة بسرعة 60 كم/س. متوسط سرعتك كام؟

الـ arithmetic mean بيقول 45 كم/س. يلا احسبها بأمانة. رحلة الروحة خدت 60 ÷ 30 = ساعتين. والرجوع خد 60 ÷ 60 = ساعة واحدة. مشيت 120 كم في 3 ساعات، يبقى متوسط سرعتك 40 كم/س — أقل بخمسة من الإجابة الحسابية.

والـ harmonic mean (المتوسط التوافقي) بيجيبها صح في خطوة واحدة: n مقسوم على مجموع المقلوبات.

الـ harmonic mean

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}}

مقلوب متوسط المقلوبات — المتوسط الصح للمعدلات اللي ليها نفس المقام

وبالتعويض: 2 ÷ (1/30 + 1/60) = 2 ÷ (3/60) = 2 ÷ 0.05 = 40 كم/س. هي الإجابة الأمينة بالظبط، ومن غير ما تحتاج تفترض أي مسافة.

وسبب إنه بيشتغل يستاهل يتقال بصراحة: إنت بتقضي وقت أطول على السرعة البطيئة عن السريعة، فالرحلة البطيئة تستاهل وزن أكبر في المتوسط. والـ harmonic mean بيطبّق الترجيح ده لوحده. ونفس المنطق بيخلّيه المتوسط الصح لنسب السعر للأرباح في محفظة استثمار، ولمقياس F₁ في الـ machine learning (تعلّم الآلة)، اللي هو الـ harmonic mean بتاع الـ precision (الدقة) والـ recall (الاستدعاء) بالظبط، عشان مكوّن عالي أوي ميغطّيش على مكوّن واطي أوي.

المتوسطات التلاتة في مقارنة واحدة

لأي مجموعة أعداد موجبة مش كلها زي بعض، المتوسطات التلاتة دايمًا بتيجي بنفس الترتيب: التوافقي < الهندسي < الحسابي. وسرعتينا بيوضّحوا ده.

المتوسطات التلاتة على 30 و60

المتوسط	بيتحسب إزاي	النتيجة	بيستخدم لما
التوافقي	2 ÷ (1/30 + 1/60)	40.00	المعدلات والنسب اللي ليها نفس المقام
الهندسي	√(30 × 60)	42.43	معاملات النمو والأرقام القياسية والتغيّر بالضرب
الحسابي	(30 + 60) ÷ 2	45.00	الكميات اللي بتتجمع: الأعداد والأطوال والدرجات والفلوس

والترتيب ده كمان فحص ببلاش لحسابك. لو حسبت geometric mean وطلع أعلى من الـ arithmetic mean لنفس الأرقام، يبقى غلطت في الحساب — النتيجة دي مستحيلة.

الـ median

الـ median (الوسيط) بيسيب الحساب خالص ويسأل عن المكان: رتّب القيم وخد اللي في النص. لو عددها فردي هيبقى فيه قيمة واحدة في النص. ولو زوجي هيبقى فيه قيمتين، والـ median هو متوسطهم.

الـ median

\text{median} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)} & n \text{ odd} \\[6pt] \dfrac{x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2} & n \text{ even} \end{cases}

x⁽ₖ⁾ هي القيمة رقم k بعد الترتيب — والـ median معتمد على الترتيب بس، عمره ما بيعتمد على المقدار

5 بيوت في شارع اتباعوا بـ 240 و255 و270 و290 و310 ألف. الـ median هو القيمة التالتة، 270. والـ mean 1365 ÷ 5 = 273. الرقمين قريبين، لأن البيانات هادية وقريبة من بعض.

دلوقتي قصر في آخر الشارع اتباع بـ 2000 ألف بدل 310. الـ mean بقى 3055 ÷ 5 = 611 — رقم مش بيوصف أي بيت في الشارع وهيضلّل أي مشتري يقراه. أما الـ median فلسه 270. ماتحركش ولا شعرة.

والإحصائيين بيقيسوا الصفة دي بالـ breakdown point (نقطة الانهيار): نسبة البيانات اللي لازم حد يبوّظها قبل ما يقدر يزق الملخص بتاعك للمكان اللي هو عايزه. الـ breakdown point بتاع الـ median هو 50% — تقدر تبوّظ تقريبًا نص القيم وهيفضل يدّيك رقم معقول. أما الـ breakdown point بتاع الـ mean فهو 0%. مشاهدة واحدة، تتزق بعيد كفاية، بتاخد الـ mean معاها.

ولو العدد زوجي، خد القيمتين اللي في النص واحسب متوسطهم: لـ 240 و255 و270 و290 الـ median هو (255 + 270) ÷ 2 = 262.5. وخد بالك إن الـ median مش لازم يبقى قيمة موجودة فعلًا في البيانات.

ولأن الـ median محتاج الترتيب بس، فهو بيشتغل على البيانات الـ ordinal (الترتيبية) اللي الـ mean فيها مالوش معنى. افتكر مقياس الرضا من درس «أنواع البيانات»: متوسط «راضي» و«راضي جدًا» حاجة مش موجودة، لكن الإجابة اللي في النص لـ 400 عميل حاجة موجودة جدًا.

الـ mode

الـ mode (المنوال) هو القيمة اللي بتتكرر أكتر. مش محتاج حساب ولا ترتيب — محتاج عدّ وبس — وده اللي بيخلّيه مقياس الـ central tendency الوحيد اللي بيصمد مع البيانات الـ nominal (الاسمية).

اسأل 100 عميل بيحبوا تتواصل معاهم إزاي: 46 قالوا إيميل، و31 قالوا تليفون، و23 قالوا رسايل SMS. الـ mode هو الإيميل. مينفعش تحسب mean هنا، لأن «إيميل» و«تليفون» أسامي مش أرقام. ومينفعش تحسب median كمان، لأن الفئات الـ nominal مالهاش ترتيب عشان يبقى ليها نص — وده بالظبط اللي خلّاها nominal في درس «أنواع البيانات».

فعلى البيانات الـ nominal، الـ mode مش بديل أضعف. هو الإجابة، وأي محاولة إنك تستخدم غيره غلطة في تصنيف البيانات نفسها.

وعلى البيانات الـ continuous (المستمرة) الـ mode بيبقى زلق، لأن عادةً مفيش قيمة بتتكرر — كل درجة حرارة متقاسة فريدة لحد آخر رقم عشري. وهناك معنى «الـ mode» بيبقى قمة الـ distribution (التوزيع)، يعني عمليًا أطول عمود في الـ histogram (المدرّج التكراري). وده بيخلّيه معتمد على عرض الفئات اللي اخترته، ودي حساسية بيتكلم عنها درس «تمثيل الـ distributions بيانيًا» في الوحدة 2 بالتفصيل.

وللـ mode موهبة مش موجودة في الـ mean والـ median: يقدر يقولك إن فيه أكتر من مركز واحد. الـ distribution الـ bimodal (ثنائي المنوال) ليه قمتين، والقمتين عادةً معناهم إن populations مختلفين اتخلطوا مع بعض — أطوال الكبار رجالة وستات في سلة واحدة، أو أوقات استجابة لطلبات متخزّنة في الـ cache وطلبات مش متخزّنة. في الحالة دي أي مركز واحد يبقى وهم، والملخص الأمين إن مفيش مركز واحد. والـ mode هو الوحيد اللي يقدر يقول كده.

الـ mean قصاد الـ median مع الـ skew

ده الجزء اللي بيخلّي الاختيار مهم، وليه اتجاه محدد تقدر تعتمد عليه. لما الـ distribution يبقى skewed (ملتوي)، ديله بيمتد ناحية أكتر من التانية، والـ mean بيتسحب ناحية الديل الطويل والـ median بيفضل مكانه.

البيانات الـ right-skewed (الملتوية يمينًا) (positive skew) ليها ديل طويل ناحية اليمين، فالـ mean بيبقى فوق الـ median. الدخل والثروة وعدد سكان المدن ومطالبات التأمين وأوقات الانتظار وأحجام الملفات كلها بتتصرف كده: أغلب القيم متكدّسة في الناحية الواطية، وشوية قيم كبيرة أوي ممتدة لليمين.

والبيانات الـ left-skewed (الملتوية يسارًا) (negative skew) عكسها، بديل طويل ناحية الشمال، فالـ mean بيبقى تحت الـ median. درجات امتحان أغلب الطلبة لقوه سهل شكلها كده، وكمان السن وقت الوفاة في بلد فيها وفيات الأطفال قليلة.

وفي الـ distribution المتماثل الرقمين بيتقابلوا، على الأقل في حدود الـ noise بتاعة الـ sampling. فإشارة x̄ − الـ median تشخيص ببلاش للـ skew في سطر واحد: موجبة يعني right skew، وسالبة يعني left skew، وقريبة من الصفر يعني تماثل تقريبًا.

التشخيص على شارعنا

أسعار البيوت الخمسة ومعاهم القصر طلّعوا mean قدره 611 وmedian قدره 270. والفرق بينهم +341 — موجب جامد، يعني right skew قوي، وهنا الـ skew كله عاملاه مشاهدة واحدة.

x̄ > الوسيط ← التواء يميني · x̄ < الوسيط ← التواء يساري

والنتيجة العملية إنك تقول الرقمين مع بعض. متوسط دخل الأسرة والـ median بتاعه بيختلفوا جامد في كل بلد في الدنيا، واختيار العنوان الصحفي لواحد فيهم قرار عن الحكاية اللي عايز يحكيها. ولما تشوف الرقمين مع بعض مش بس بتعرف المركز فين، بتعرف كمان الـ distribution معووج حواليه قد إيه.

وفي الـ slides اللي مع الدرس ده فيه histogram ومعاه slider للـ skew. حرّكه وشوف الـ mean والـ median بيبعدوا عن بعض وبعدين بيبدّلوا أماكنهم — العلاقة اللي فوق أسهل تصدّقها بعد ما تحرّكها بإيدك.

إزاي تختار المقياس

ولو جمّعنا كل اللي فات، الاختيار بيحدده نوع البيانات اللي معاك، مش العادة ولا الراحة.

أنهي مقياس، وليه

بياناتك	استخدم	لأن
فئات nominal	الـ mode	مفيش ترتيب ولا عمليات حسابية
رتب ordinal	الـ median (والـ mode ماشي)	الترتيب ليه معنى بس المسافات مش متساوية
أرقام distribution بتاعها متماثل	الـ arithmetic mean	بيستخدم كل مشاهدة، وهو أدق estimator (مقدِّر)
skewed أو فيها outliers (قيم شاذة)	الـ median	الـ mean بيتسحب ناحية الديل الطويل
معدلات نمو ونسب	الـ geometric mean	الكميات بتتضرب مش بتتجمع
معدلات ليها نفس المقام	الـ harmonic mean	بيدّي كل معدل وزن على قد الوقت أو الكمية اللي بينطبق عليها
مجموعات أحجامها مختلفة	الـ weighted mean	كل مجموعة لازم تتحسب على قد حجمها

إنك تعرف المركز ده نص الملخص بس. مجموعتين بيانات ممكن يبقى ليهم نفس الـ mean ونفس الـ median ويوصفوا مع كده عالمين مختلفين خالص — واحدة متكدّسة والتانية مبعترة على الآخر. الدرس الجاي بيبني النص التاني: الـ range (المدى)، والـ variance (التباين)، والـ standard deviation (الانحراف المعياري)، والـ IQR (المدى الربيعي)، والـ five-number summary (الملخص الخماسي)، والـ box plot (مخطط الصندوق)، وقواعد تحكم بيها إمتى قيمة تبقى شاذة بجد.

أهم حاجة في الدرس

الـ arithmetic mean هو نقطة توازن البيانات: بيستخدم كل مشاهدة، ودي قوّته وضعفه في نفس الوقت.
متوسط ملخصات لمجموعات أحجامها مختلفة محتاج weighted mean — سكشنين فيهم 10 و40 طالب بمتوسط 90 و70 بيدّوا 74، مش 80.
استخدم الـ geometric mean لأي حاجة بتتضرب: +50% وبعدين −40% يبقى خسارة 10% على سنتين، مش مكسب 5% في السنة.
استخدم الـ harmonic mean للمعدلات اللي ليها نفس المقام: 60 كم بسرعة 30 كم/س و60 كم بسرعة 60 كم/س متوسطهم 40 كم/س، مش 45.
للقيم الموجبة اللي مش كلها زي بعض: التوافقي < الهندسي < الحسابي، دايمًا — وده فحص ببلاش لحسابك.
الـ breakdown point بتاع الـ median 50% وبتاع الـ mean 0%: قصر واحد نقل mean الشارع من 273 لـ 611 وساب الـ median زي ما هو.
الـ mode هو المقياس المركزي الوحيد المتاح للبيانات الـ nominal، والوحيد اللي يقدر يقولك إن فيه مركزين لما populations اتنين يتخلطوا.
مع الـ skew الـ mean بيتسحب ناحية الديل الطويل: x̄ > الـ median يعني right skew، وx̄ < الـ median يعني left skew. قول الرقمين.