الـ matched filtering | DSP-101

الـ detector المثالي

في الدرس اللي فات، أثبتنا إن الـ cross-correlation (الارتباط التقاطعي) بين الـ signal المستقبَلة وtemplate معروف هو الـ test statistic المثالية حسب معيار Neyman-Pearson لكشف الـ template ده في الـ additive white Gaussian noise (AWGN). ودلوقتي هنحوّل النتيجة دي لمسألة تصميم filter: هل فيه linear filter قيمة خرجه، لما تتاخد في اللحظة المناسبة، بتحقق أعلى SNR ممكنة؟ الإجابة آه، والـ filter ده اسمه الـ matched filter (المرشّح المتوافق).

الـ matched filtering منتشر في كل حتة في الهندسة الحديثة. الـ receiver بتاع الرادار بيستخدمه عشان يضغط النبضات الطويلة لقمم حادة، فبيحسّن دقة القياس من غير ما يضحّي بمدى الـ detection. والـ receiver بتاع الاتصالات الرقمية بيطبّقه عشان يعلّي الـ SNR عند لحظة الـ sampling قبل ما ياخد قرار الـ bit. والـ receiver بتاع GPS بيستخدمه عشان يعمل correlation بين الـ signal الجاية ونسخة محلية من code القمر الصناعي، عشان يطلّع رسالة الملاحة من noise أعلى من الـ signal بحوالي 20–30 ديسيبل.

الفكرة الأساسية

الـ matched filter هو الـ linear filter اللي بيكبّر الـ SNR عند الخرج في لحظة sampling معيّنة لما الدخل يبقى signal معروفة زائد white noise. والـ impulse response بتاعه هي نسخة مقلوبة في الزمن ومترافقة (conjugate) من الـ signal اللي عايزين نكشفها.

h[n] = s*[N−1−n] — الـ impulse response بتاعة الـ matched filter

اشتقاق الـ matched filter

افترض إن signal s[n] طولها N مدفونة في white Gaussian noise w[n] بـ variance σ². بنعدّي الـ signal المستقبَلة y[n] = s[n] + w[n] على linear filter h[n] وناخد الخرج عند n = N−1. وعايزين نختار h[n] بحيث الـ SNR عند الخرج في اللحظة دي تبقى في أقصاها.

الـ SNR عند الخرج هي:

الـ SNR عند الخرج

\mathrm{SNR} = \frac{\left|\sum_{k=0}^{N-1} h[N-1-k]\, s[k]\right|^2}{\sigma^2 \sum_{k=0}^{N-1} |h[k]|^2}

الـ SNR عند خرج الـ filter h[n] متاخدة عند n = N−1. البسط هو مربّع مكوّن الـ signal؛ والمقام هو قدرة الـ noise.

نقدر نكبّر التعبير ده باستخدام متباينة Cauchy-Schwarz، اللي بتقول إن |Σ a[k]b[k]|² ≤ (Σ|a[k]|²)(Σ|b[k]|²)، والتساوي بيتحقق لما b[k] = c·a*[k]. ولما نحدّد a[k] = s[k] وb[k] = h[N−1−k]، أقصى SNR بتبقى:

أقصى SNR

\mathrm{SNR}_{\max} = \frac{E_s}{\sigma^2} = \frac{\sum_{n=0}^{N-1}|s[n]|^2}{\sigma^2}

أقصى SNR بتعتمد بس على طاقة الـ signal E_s والـ variance بتاع الـ noise σ².

الـ filter المثالي

h[n] = s^*[N-1-n]

الـ impulse response بتاعة الـ matched filter هي الـ signal مقلوبة في الزمن ومترافقة.

أقصى SNR ممكن توصلها هي E_s/σ²، مهما كان شكل الـ signal. والنتيجة الرائعة دي بتقول إن الطريقة الوحيدة لتحسين أداء الـ detection هي إنك تزوّد طاقة الـ signal E_s أو تقلّل قدرة الـ noise σ² - مفيش حيلة filtering تقدر تغلب الـ matched filter.

الـ matched filter هو correlator

خرج الـ matched filter h[n] = s*[N−1−n] عند n = N−1 هو:

خرج الـ matched filter = الـ cross-correlation

y_{\mathrm{out}}[N-1] = \sum_{k=0}^{N-1} y[k]\, s^*[k] = R_{ys}[0]

خرج الـ matched filter عند لحظة الـ sampling بيساوي الـ cross-correlation بين y وs. والعمليتين متطابقين رياضيًا.

وده بيأكّد الصلة اللي في الدرس اللي فات: الـ test statistic المثالية بتاعة Neyman-Pearson (الـ cross-correlation) هي بالظبط خرج الـ matched filter متاخد في اللحظة الصح. والـ matched filter ببساطة هو التنفيذ الكفء للـ correlator receiver كعملية convolution واحدة.

التكافؤ الأساسي

الـ filtering بالـ matched filter h[n] = s*[N−1−n] والـ sampling عند n = N−1 مكافئ تمامًا لحساب الـ cross-correlation بين الـ signal المستقبَلة والـ template المعروف. استخدم أيهم أنسب حسابيًا.

المنظور في الـ frequency domain

في الـ frequency domain، الـ matched filter ليه frequency response H(e^jω) = S*(e^jω) (لو تجاهلنا حد الـ phase بتاع الانعكاس الزمني). وبالتالي الـ magnitude response بتاع الـ matched filter بيساوي الـ magnitude spectrum بتاع الـ signal: |H(e^jω)| = |S(e^jω)|.

وده ليه تفسير جميل: الـ matched filter بيعلّي الـ frequencies اللي الـ signal فيها قوية وبيوطّي الـ frequencies اللي هي فيها ضعيفة. وبما إن الـ white noise الـ power spectrum بتاعه مفرود، الـ filter بيبرز لأقصى حد المحتوى الطيفي للـ signal بالنسبة للـ noise المتساوي.

الـ pulse compression في الرادار

الرادار بيواجه مقايضة أساسية. النبضة الطويلة بتشيل طاقة أكبر (كويس لمدى الـ detection) بس بتدّي range resolution ضعيفة لأن صدى الأهداف القريبة من بعض بيتداخل في الزمن. والنبضة القصيرة بتدّي range resolution حادة بس بتشيل طاقة قليلة وبتتعب على المسافات البعيدة. والـ pulse compression بيحل المعضلة دي: ابعت نبضة طويلة متشفّرة وطبّق matched filter في الـ receiver عشان تضغطها لقمة حادة.

أشهر نظام تشفير هو الـ linear frequency modulation (LFM) أو "الـ chirp"، اللي فيه الـ frequency اللحظية بتكنس بشكل خطي bandwidth B خلال مدة النبضة T. وحاصل ضرب الـ bandwidth في الوقت TB — اللي اسمه الـ compression ratio — هو المعامل اللي النبضة بتتضغط بيه.

الـ compression ratio (الوقت × الـ bandwidth)

10 log TB

الـ processing gain (ديسيبل)

1/B

عرض النبضة المضغوطة (الـ range resolution)

signal chirp بـ frequency خطية

s(t) = \mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right)\exp\!\left(j2\pi\left(f_0 t + \frac{B}{2T}t^2\right)\right)

الـ LFM chirp اللي مدته T والـ bandwidth بتاعه B بيكنس الـ frequency من f₀−B/2 لـ f₀+B/2. والـ matched filter بيضغطه لقمة شكلها sinc عرضها ~1/B.

الـ matched filtering في الاتصالات الرقمية

في نظام الاتصالات الرقمية، الـ transmitter بيبعت pulse shape g[n] لكل bit. والقناة بتضيف AWGN. والـ receiver المثالي بيطبّق matched filter على g[n] وبياخد الخرج في آخر كل فترة symbol عشان ياخد قرار الـ bit.

والـ correlator receiver ده هو البنية المعيارية للـ coherent digital demodulation. وفي الاتصالات الـ binary في AWGN، بيحقق أقل bit error rate (BER) لقيمة E_b/N₀ معيّنة. وعمليًا، الـ matched filter بيشتغل كمان كمقلّل للـ intersymbol interference (ISI) لما يتجمّع مع pulse-shaping filter من نوع Nyquist — فالـ root-raised-cosine (RRC) filter المستخدم في أنظمة الموبايل الحديثة زوج matched: RRC في الـ transmitter وواحد تاني في الـ receiver.

الـ root-raised-cosine

معايير الموبايل الحديثة (LTE و5G NR) بتستخدم نبضة root-raised-cosine (جذر جيب التمام المرتفع) أو RRC في الـ transmitter. والـ receiver بيطبّق كمان RRC filter. والـ cascade بتاع الـ filterين بيساوي raised-cosine filter من نوع Nyquist مفيهوش ISI عند لحظات الـ sampling. وكل RRC filter هو الـ matched filter بتاع التاني.

GPS: الـ matched filtering تحت مستوى الـ noise

الـ GPS يمكن يكون أكتر مثال مبهر للـ matched filtering في الحياة اليومية. كل قمر صناعي من أقمار GPS بيبث signal بحوالي −130 dBm عند سطح الأرض، ودي أوطى بحوالي 20 ديسيبل من أرضية الـ thermal noise. والـ receivers بتاعة GPS بتولّد نسخة محلية من الـ PRN code لكل قمر صناعي وبتعمل correlation مع الـ signal الجاية. والـ correlation بيتكامل لمدة 1 مللي ثانية، فبيدّي processing gain حوالي ~30 ديسيبل، بيرفع signal القمر الصناعي فوق الـ noise.

الدرس الجاي: التطبيقات — الرادار والسونار والاتصالات — بيجمع الـ correlation ونظرية الـ detection والـ matched filtering عشان نفهم الأنظمة الحقيقية بتشتغل إزاي.

الخلاصة الأساسية

الـ matched filter هو الـ linear filter اللي بيكبّر الـ SNR عند الخرج لما الـ signal المعروفة تبقى متلخبطة بـ AWGN. والـ impulse response بتاعه هي h[n] = s*[N−1−n] — الـ signal مقلوبة في الزمن ومترافقة.
أقصى SNR ممكن توصلها بتساوي E_s/σ²، حيث E_s هي طاقة الـ signal. ومفيش linear filter يقدر يعدّي الحد ده.
إنك تاخد sample من خرج الـ matched filter عند n = N−1 مكافئ رياضيًا لحساب الـ cross-correlation بين الـ signal المستقبَلة والـ template المعروف للـ signal.
في الـ frequency domain، الـ magnitude response بتاع الـ matched filter بيساوي الـ magnitude spectrum بتاع الـ signal: بيعلّي الـ frequencies القوية في الـ signal.
الـ pulse compression بيستخدم waveform متشفّرة (زي الـ LFM chirp) وmatched filter عشان ياخد طاقة نبضة طويلة ويحقق range resolution بتاعة نبضة قصيرة. والـ processing gain = 10 log(TB) ديسيبل.
في الاتصالات الرقمية، الـ matched filter (الـ correlator receiver) بيحقق أقل BER لقيمة E_b/N₀ معيّنة. والـ RRC filters بتعمل أزواج matched في المعايير الحديثة.
الـ GPS بيستغل الـ matched filtering عشان يكشف signals الأقمار الصناعية اللي أوطى بـ 20 ديسيبل من مستوى الـ noise، وبيحقق processing gain حوالي ~30 ديسيبل من correlation على 1023 PRN chip.