DSP 101
M10 · L03
الوحدة 10: الـ correlation والـ detection

الـ matched filtering

الـ linear filter المثالي لكشف signal معروفة في الـ noise. بيكبّر الـ SNR عند الخرج في لحظة الـ sampling — وهو في الحقيقة الـ correlator receiver متنكّر.

01 / 11
DSP 101
M10 · L03
المسألة

تكبير الـ SNR

لو معاك y[n] = s[n] + w[n]، دوّر على الـ linear filter h[n] اللي بيدّي أكبر SNR ممكنة لما تاخد الخرج عند n = N−1. والإجابة بتتشتق باستخدام متباينة Cauchy-Schwarz.

النتيجة
h[n] = s*[N−1−n]  —  مقلوب في الزمن ومترافق
02 / 11
DSP 101
M10 · L03
أقصى SNR

حد الطاقة

أقصى SNR ممكن توصلها بتساوي طاقة الـ signal مقسومة على الـ variance بتاع الـ noise. مفيش linear filter يقدر يعدّي الحد ده — الطاقة الأكبر أو الـ noise الأقل بس هما اللي يقدروا يحسّنوا الـ detection.

أقصى SNR
\mathrm{SNR}_{\max}=\frac{E_s}{\sigma^2}=\frac{\sum_n|s[n]|^2}{\sigma^2}
03 / 11
DSP 101
M10 · L03
التكافؤ الأساسي

الـ filter = الـ correlator

إنك تاخد خرج الـ matched filter عند n = N−1 هو بالظبط الـ cross-correlation بين الـ signal المستقبَلة والـ template. والعمليتين متطابقين رياضيًا.

خرج الـ matched filter
y_{\mathrm{out}}[N-1]=\sum_{k=0}^{N-1}y[k]\,s^*[k]
04 / 11
DSP 101
M10 · L03
الـ frequency domain

تعلية مكان ما الـ signal قوية

الـ magnitude response بتاع الـ matched filter بيساوي الـ magnitude spectrum بتاع الـ signal: |H| = |S|. بيعلّي نطاقات الـ frequency اللي الـ signal فيها قوية، والـ white noise بيعدّي بالتساوي في كل حتة.

  • طاقة signal عالية عند ω → |H(ejω)| كبير
  • طاقة signal واطية عند ω → |H(ejω)| صغير
  • النتيجة: أقصى coherent integration لطاقة الـ signal
05 / 11
DSP 101
رادار
الـ pulse compression

نبضة طويلة، قمة حادة

ابعت LFM chirp طويل عشان الطاقة؛ وطبّق matched filter في الاستقبال عشان تضغطه. الـ processing gain = 10 log(T·B) ديسيبل. والـ resolution بتفضل 1/B مهما كان طول النبضة.

TB
الـ compression ratio
1/B
الـ range resolution
30 dB
مكسب معتاد (TB=1000)
06 / 11
DSP 101
اتصالات
الاتصالات الرقمية

receiver أقل BER

الـ correlator receiver/الـ matched filter بيحقق أقل bit error rate لقيمة Eb/N0 معيّنة في AWGN. والمعايير الحديثة بتستخدم pulse shaping بالـ RRC — RRC واحد في الـ transmitter، وRRC filter matched في الـ receiver.

  • BPSK وQPSK وQAM — كلهم بيستخدموا الـ sampling بعد الـ matched filter
  • الـ root-raised-cosine — بيقسم الـ Nyquist filter على TX/RX
  • ISI صفر عند لحظات الـ sampling مع الـ filter الكامل
07 / 11
DSP 101
GPS
GPS: تحت مستوى الـ noise

مش باين للـ spectrum analyzers

جهاز ملاحة محمول شاشته فاضية على حافة صخرة، وأقمار صناعية صغيرة في سما باهتة.
المستقبل بيسمع كل قمر صناعي تحت مستوى الـ noise، والـ correlation مع الـ code المعروف لكل قمر هو اللي بيرفع الـ signal فوقه.

signals الـ GPS بتوصل بـ −130 dBm — أوطى بـ 20 ديسيبل من الـ thermal noise. والـ receiver بيعمل correlation مع 1023 PRN chip لمدة 1 مللي ثانية، فبيكسب ~30 ديسيبل processing gain. والـ signal بتطلع من الـ noise.

−130
dBm قدرة مستقبَلة
1023
PRN chip/مللي ثانية
~30 dB
processing gain
08 / 11
DSP 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

09 / 11
DSP 101
الخلاصة
أهم النقط

الـ matched filter

  • الـ impulse response: h[n] = s*[N−1−n]
  • أقصى SNR = Es/σ² — الطاقة بس هي اللي بتفرق
  • إنك تاخد الخرج = الـ cross-correlation مع الـ template
  • الـ frequency response: |H| = |S|
  • بيتستخدم في: الرادار، الاتصالات، GPS، السونار
10 / 11
DSP 101
الجاي
الجاي

الرادار والسونار والاتصالات

دلوقتي معانا كل الأدوات — الـ correlation ونظرية الـ detection والـ matched filtering. وفي الدرس الجاي هنشوف بيتجمّعوا إزاي في أنظمة حقيقية: قياس المسافة بالرادار وتصوير السونار والـ acquisition بتاع GPS والـ digital demodulation.

الدرس الجاي
التطبيقات ←
كل الدروس اقرا المقالة
11 / 11