تمثيل العلاقات بيانيًا | STAT-101

من variable واحد لاتنين

الدرس اللي فات وراك إزاي ترسم variable (متغير) واحد — شكله وانتشاره وسلوك ديله. بس تحليل البيانات نادرًا لما بيقف لحد كده. أكتر الأسئلة إثارة فيها علاقات: المذاكرة الزيادة بتجيب درجات أعلى؟ درجة الحرارة بتتنبأ بمبيعات الآيس كريم؟ مصاريف الإعلانات بتحرّك الإيرادات؟ الأسئلة دي محتاجة رسومات بتعرض variable اتنين أو أكتر في نفس الوقت.

رسم العلاقات ليه هدفين: الاستكشاف (إنك تلاقي أنماط مكنتش متوقعها) والتواصل (إنك توصّل الأنماط اللي إنت عارفها أصلًا للناس). الأدوات اللي في الدرس ده — الـ scatter plots والـ line charts والـ bubble charts والـ heatmaps والـ pair plots — بتغطّي المدى كله من variable اتنين لـ variables كتير.

الـ scatter plots

الـ scatter plot (المخطط المبعثر) هو الأداة الأساسية لرسم العلاقة بين two quantitative variables. كل مشاهدة بتبقى نقطة؛ variable متمثّل في مكانها الأفقي والتاني في مكانها الرأسي. والنتيجة سحابة نقط شكلها بيقولك كل حاجة عن العلاقة.

وإنت بتقرا الـ scatter plot، بتدوّر على 4 حاجات:

الاتجاه: النقط بتميل تطلع من الشمال لليمين (correlation موجب) ولا تنزل (correlation سالب)؟ ولا مفيش اتجاه واضح؟

الشكل: العلاقة خطية (نقط مبعترة حوالين خط مستقيم) ولا مش خطية (منحنية أو على شكل U أو أعقد)؟

القوة: النقط متجمّعة قد إيه حوالين الاتجاه العام؟ التجمّع الجامد معناه علاقة قوية؛ والسحابة المفرودة معناها علاقة ضعيفة.

الحاجات الغريبة: فيه outliers (قيم شاذة) — نقط بعيدة عن السحابة الأساسية؟ فيه مجموعات أو تجمّعات فرعية جوه البيانات؟

اتأكد دايمًا من الـ outliers

outlier واحد ممكن يغيّر الـ correlation اللي باين في الـ scatter plot تغيير جذري. قبل ما تقول إن فيه أي علاقة، دوّر على النقط المؤثرة البعيدة عن السحابة الأساسية على المحورين. النقط دي ممكن تبقى غلطات في البيانات، أو قياسات مش دقيقة، أو مشاهدات استثنائية حقيقية تستاهل تحليل لوحدها.

الـ correlation: ملخص بالأرقام للـ scatter plot

الـ scatter plot بيوريك الصورة؛ أما الـ correlation coefficient (معامل الارتباط) فبيدّيك رقم بيلخّص اتجاه العلاقة الخطية وقوتها. أكتر مقياس بيستخدم هو Pearson's r (ارتباط بيرسون)، اللي قيمته بين −1 (علاقة خطية سالبة مثالية) و+1 (علاقة خطية موجبة مثالية)، والقيمة 0 معناها مفيش علاقة خطية.

معامل ارتباط Pearson

r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \cdot \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}

الـ r بيقيس قوة واتجاه العلاقة الخطية بين x وy؛ ومالوش وحدات ودايمًا بين −1 و+1

ارتباط Pearson ليه تفسير بسيط: هو متوسط حاصل ضرب قيم x وy المعيارية. لما الـ variables الاتنين يميلوا يطلعوا فوق متوسطاتهم مع بعض (وينزلوا مع بعض)، حواصل الضرب بتبقى موجبة والـ r موجب. ولما واحد يميل يطلع والتاني ينزل، الحواصل بتبقى سالبة والـ r سالب.

إرشادات تقريبية تفهم بيها الـ r: |r| < 0.3 ضعيف، و0.3 – 0.6 متوسط، و|r| > 0.6 قوي. بس الإرشادات دي معتمدة على المجال — في الفيزيا ممكن r = 0.9 يبقى متوقع؛ أما في علم النفس أو العلوم الاجتماعية فممكن r = 0.4 يتحسب قوي.

الـ correlation مش معناه causation

ده يمكن أهم تحذير في الإحصاء كله. مبيعات الآيس كريم ومعدلات الغرق بينهم correlation موجب — مش لأن الآيس كريم بيغرّق الناس، لكن لأن الاتنين بيزيدوا في الصيف. الـ correlation العالي بيقولك إن الـ variables الاتنين بيتحركوا مع بعض؛ ومش بيقول أي حاجة عن السبب. إثبات الـ causation (السببية) محتاج تصميم تجريبي وترتيب زمني واستبعاد الـ confounders (العوامل المُربِكة).

الـ correlation بيقيس الارتباط، مش السببية. اسأل دايمًا: ممكن يكون فيه variable تالت بيحرّك الاتنين؟

ارتباط Spearman الرتبي

ارتباط Pearson بيمسك العلاقات الخطية. لما العلاقة تبقى monotonic (رتيبة) بس مش خطية — أو لما البيانات يبقى فيها outliers أو مش ماشية مع افتراضات الـ normality — يبقى Spearman's rank correlation (ارتباط سبيرمان الرتبي) ρ أنسب. هو ببساطة بيطبّق معادلة Pearson على رتب البيانات بدل قيمها الفعلية.

ارتباط Spearman الرتبي

\rho = 1 - \frac{6\sum_{i=1}^{n} d_i^2}{n(n^2 - 1)}

dᵢ هو الفرق في الرتبة بين قيمتي x وy للمشاهدة i؛ المعادلة دي مظبوطة لما ميكونش فيه رتب متكررة

ارتباط Spearman ρ بيساوي +1 لو الرتب متفقة تمامًا، و−1 لو عكس بعض تمامًا، و0 لو الرتب مالهاش علاقة ببعض. ولأنه بيستخدم الرتب فهو بيصمد قدام الـ outliers وبيشتغل مع البيانات الـ ordinal والقياسات الـ continuous زي بعض.

الـ line charts: الاتجاهات مع الزمن

لما واحد من الـ variables يبقى الزمن، الـ scatter plot بيسيب مكانه للـ line chart (مخطط الخطوط). لما توصّل النقط بخط الترتيب الزمني بيبقى واضح والعين بتعرف تتابع الاتجاهات والدورات والتغيّرات المفاجئة. المحور الأفقي دايمًا الزمن (التاريخ أو السنة أو الربع أو الساعة...)، والرأسي الكمية اللي بتهمّك.

الـ line charts شاطرة جدًا في إنها تكشف:

الاتجاهات: حركة طالعة أو نازلة مستمرة مع الزمن — نمو الناتج المحلي، ارتفاع درجات الحرارة، نزول التكاليف.

الـ seasonality (الموسمية): أنماط منتظمة بتتكرر مرتبطة بوقت في السنة أو يوم في الأسبوع أو ساعة في اليوم. مبيعات المحلات بتعلى كل ديسمبر؛ والطلب على الكهربا بيوصل للقمة كل صباح يوم شغل.

التغيّرات المفاجئة والشذوذ: قفزات حادة بتعلّم على تغييرات في السياسات أو أعطال في الأنظمة أو صدمات من برّه. وباء أو إطلاق منتج أو قانون جديد كتير بيبان كلفّة حادة في الـ line chart.

لما ترسم كذا خط على نفس المحاور، الرسمة بتوريك الفجوة بين السلاسل بتتغيّر إزاي مع الزمن. خلّي عدد الخطوط 5 أو أقل؛ أكتر من كده الرسمة مش هتتقري. ولو عندك سلاسل كتير، فكّر في الـ small multiples (رسمة لكل سلسلة وكلهم بنفس المحاور).

الـ bubble charts: 3 variables في بعدين

الـ bubble chart (مخطط الفقاعات) بيكبّر الـ scatter plot بإنه يمثّل quantitative variable تالت في حجم كل نقطة. المحورين الأفقي والرأسي بيعرضوا variable اتنين؛ ومساحة الدايرة (الفقاعة) بتمثّل التالت. رسومات هانز روسلينج المتحركة المشهورة للتنمية في العالم — الدول فقاعات، وx = الدخل، وy = متوسط العمر، والحجم = عدد السكان — وضّحت إن الغنى والصحة وكتر السكان مش حاجة واحدة.

الـ bubble charts بتشتغل أحسن حاجة لما:

• الـ variable التالت يبقى مداه واسع والفروق في الحجم ليها معنى.

• عدد المشاهدات يبقى متوسط (5–50). الفقاعات الكتير أوي بتدخل في بعض وبتخبّي القيم الفردية.

• الـ variable يتمثّل بالمساحة مش بنص القطر. العين بتحسّ بالمساحة، فاربط الـ variable بـ πr² مش بـ r على طول.

مساحة الفقاعة قصاد نص قطرها

من الغلطات المشهورة إنك تربط الـ variable بـنص قطر الفقاعة مش بـمساحتها. لو عدد سكان دولة ضعف دولة تانية، لازم مساحة فقاعتها تبقى ضعف مساحة فقاعة التانية، مش ضعف نص قطرها. الفقاعة اللي نص قطرها اتضاعف مساحتها أربع أضعاف — مبالغة بتضلّل. اتأكد دايمًا إن أداة الرسم بتمثّل المساحة من الأول، أو احسبها: نص القطر = √(القيمة / π).

الـ heatmaps: variables كتير في نفس الوقت

لما عدد الـ variables يعدّي 3، الرسومات اللي ليها بعدين بتبدأ تعجز. الـ heatmap (خريطة الحرارة) بتمثّل matrix من القيم بشدة اللون — عادةً تدرّج من بارد (قيم واطية) لدافي (قيم عالية)، أو من لون للون تاني للبيانات اللي ليها نقطة وسط. كل خلية في الـ matrix بتاخد لون، والعين بتتابع الأنماط.

أشهر استخدام للـ heatmaps في الإحصاء هو الـ correlation matrix (مصفوفة الارتباط): شبكة مربعة الخلية (i، j) فيها بتوريك الـ correlation بين الـ variable رقم i والـ variable رقم j. القطر دايمًا 1.0 (كل variable مرتبط بنفسه تمامًا). والخلايا اللي برّه القطر بتكشف أنهي أزواج من الـ variables مرتبطة جامد — وفي أنهي اتجاه.

الـ heatmaps بتستخدم كمان في:

matrices الزمن × الفئة: المبيعات حسب المنتج وحسب الشهر. محور للزمن (الشهر)، والتاني للفئة (المنتج)، واللون بيمثّل القيمة.

البيانات الجغرافية: الكثافة السكانية أو درجة الحرارة أو مستوى التلوث مرسومين على شبكة جغرافية.

الـ confusion matrices (مصفوفات الالتباس): في الـ machine learning (التعلم الآلي)، الـ confusion matrices بتترسم كـ heatmaps عشان توريك كل فئة متوقعة بتطابق كل فئة حقيقية قد إيه.

الـ pair plots: كل العلاقات الثنائية مرة واحدة

لما تستكشف بيانات فيها variables كتير، بتبقى عايز تشوف كل الـ scatter plots الثنائية مرة واحدة. الـ pair plot (مخطط الأزواج) (اسمه كمان scatter plot matrix أو SPLOM) بيعمل شبكة كل صف وكل عمود فيها بيمثّل variable واحد. الخلية في الصف i والعمود j بتوريك scatter plot للـ variable رقم i على المحور الرأسي قصاد الـ variable رقم j على الأفقي. والقطر عادةً بيعرض histogram أو KDE لكل variable لوحده.

الـ pair plots أداة مالهاش تمن في أول تحليل استكشافي للبيانات. بنظرة واحدة على رسمة واحدة، تقدر تلقط أنهي أزواج variables بينهم علاقات خطية قوية (مرشحين للـ regression)، وأنهي مفيش بينهم علاقة (ممكن يكونوا independent)، وأنهي بيوروا أنماط مش خطية أو متجمّعة (إشارة إن البيانات ممكن يكون فيها مجموعات فرعية أو محتاجة transformation).

أهم قيد هو الحجم. مع p variable، الـ pair plot بيبقى فيه p² خلية. عند p = 5، يبقى 25 خلية — ماشي. عند p = 20، يبقى 400 خلية — مش هتتقري. لما يبقى عندك أكتر من 8–10 variables، استخدم heatmap للـ correlation بدل كده، أو اختار من الأول أكتر variables مثيرة للاهتمام بناءً على معرفتك بالمجال قبل ما تبني الـ pair plot.

إزاي تختار الرسمة المناسبة

الـ scatter plot: variable اتنين continuous، من غير ترتيب زمني، وsample size متوسط لكبير. الاختيار الافتراضي لاستكشاف العلاقات.

الـ line chart: واحد من المحورين هو الزمن. استخدمه لما التسلسل الزمني يفرق وعايز توري الاتجاهات والدورات والتغيّرات المفاجئة.

الـ bubble chart: 3 variables continuous، وعدد مشاهدات قليل لمتوسط. مناسب لما الـ variable التالت يبقى ليه تفسير ليه معنى كحجم.

الـ heatmap: variables كتير (correlation matrix) أو قيمة متعرّفة على محورين فئويين (زمن × فئة). اللون بيمثّل الكمية.

الـ pair plot: تحليل استكشافي لحد ~10 variables. بيعرض كل الـ scatter plots الثنائية في نفس الوقت عشان تلقط الأنماط بسرعة.

الدرس الجاي بينقل من إيه اللي بنرسمه لـ إزاي نوصّله بفعالية — تختار نوع الرسمة المناسب لجمهورك، وتتجنب العروض المضلِّلة، وتطبّق مبادئ تصميم البيانات الكويس.

أهم حاجة اتعلّمتها

الـ scatter plots بتكشف الاتجاه والشكل والقوة والحاجات الغريبة في العلاقة بين two quantitative variables.
ارتباط Pearson r بيحدد قوة العلاقة الخطية؛ وارتباط Spearman ρ أمتن للبيانات اللي مش خطية أو المترتبة.
الـ correlation مش معناه causation — فكّر دايمًا هل ممكن variable تالت يفسّر الارتباط اللي شايفه.
الـ line charts هي الاختيار الطبيعي لما واحد من المحورين يبقى الزمن والترتيب الزمني يفرق.
الـ bubble charts بتزوّد بعد تالت بحجم النقطة؛ والـ heatmaps بتتعامل مع variables كتير باللون؛ والـ pair plots بتدّيك نظرة شاملة على كل العلاقات الثنائية مرة واحدة.