الـ linear transformations (التحويلات الخطية)

الـ matrices دوال

في الدروس اللي فاتت، اتعلّمنا إزاي نرتّب البيانات في matrices (مصفوفات) ونعمل عليها عمليات زي الجمع والضرب. دلوقتي هننط نطّة في الفهم: كل matrix هي دالة. وبالتحديد، هي linear transformation (تحويل خطي) — دالة بتاخد vectors (متجهات) وتطلّع vectors بطريقة بتحافظ على البنية الجبرية للـ vector space.

لما تضرب الـ matrix A في الـ vector x، إنت مش بتعمل حسبة وخلاص — إنت بتطبّق transformation هندسي على الـ vector. الـ matrix A «بتحرّك» x لمكان جديد في الفضاء: Ax هو صورة x تحت الـ transformation.

التعريف: إيه اللي بيخلّي transformation يبقى linear؟

الدالة T من ℝⁿ لـ ℝᵐ اسمها linear transformation لو حقّقت خاصيتين لكل الـ vectors u, v ∈ ℝⁿ ولكل الـ scalars c:

الـ additivity (الإضافية): T(u + v) = T(u) + T(v)
الـ homogeneity (التجانس): T(cu) = c · T(u)

وتقدر تدمج الخاصيتين في جملة واحدة: T(αu + βv) = αT(u) + βT(v) لكل الأرقام α, β. يعني T بتتبادل مع الـ linear combinations.

الحدس الهندسي

الـ linear transformation بيودّي الخطوط لخطوط (أو بيطبّق بعضها في نقط)، وبيسيب نقطة الأصل مكانها، وبيحافظ على التوازي. الخطوط المستقيمة بتفضل مستقيمة. وخطوط الشبكة بتفضل متوازية والمسافات بينها منتظمة (حتى لو اتلفّت أو اتكبّرت). أما التشوّهات اللي مش linear — زي الانحناء أو اللّي — فممنوعة.

كل matrix هي linear transformation

النظرية الأساسية اللي بتربط الـ matrices بالـ linear transformations:

ضرب matrix في vector

T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}

كل matrix مقاسها m×n بتعرّف linear transformation T: ℝⁿ → ℝᵐ عن طريق T(x) = Ax. والعكس، كل linear transformation من ℝⁿ لـ ℝᵐ تقدر تمثّله بـ matrix مقاسها m×n. الـ matrices والـ linear transformations وصفين لنفس الحاجة الرياضية.

نقرا الـ transformation من الـ matrix بتاعته

الفكرة المحورية هي: أعمدة A هي صور الـ standard basis vectors (متجهات القاعدة القياسية). في ℝ²، الـ standard basis vectors هما e₁ = [1, 0]ᵀ وe₂ = [0, 1]ᵀ. لو A = [a₁ | a₂]، يبقى:

A·e₁ = a₁ (العمود الأول): e₁ بيروح للعمود الأول في A.
A·e₂ = a₂ (العمود التاني): e₂ بيروح للعمود التاني في A.

أول ما تعرف الـ basis vectors رايحين فين، تعرف كل حاجة رايحة فين — لأن أي vector هو linear combination من الـ basis vectors، وT لازم يحافظ على الـ linear combinations.

transformations مشهورة في 2D

الدوران (θ عكس عقارب الساعة)

[[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]

بيلفّ كل vector عكس عقارب الساعة بزاوية θ. det = 1.

التكبير

[[a, 0], [0, d]]

بيمطّ محور x بمعامل a، ومحور y بمعامل d. det = ad.

الانعكاس (حوالين محور x)

[[1, 0], [0, −1]]

بيقلب المستوى فوق لتحت. det = −1.

الـ shear الأفقي

[[1, k], [0, 1]]

بيميّل المستوى ناحية اليمين. det = 1.

الـ projection (على محور x)

[[1, 0], [0, 0]]

بيمسح مركّبة y. det = 0.

الـ identity

[[1, 0], [0, 1]]

بتودّي كل vector لنفسه. det = 1.

الـ rotation matrix

الـ rotation matrix (مصفوفة الدوران) من أحلى الـ matrices في الـ linear algebra. لو لفّيت e₁ = [1,0]ᵀ عكس عقارب الساعة بزاوية θ، بيروح لـ [cosθ, sinθ]ᵀ. ولو لفّيت e₂ = [0,1]ᵀ، بيروح لـ [−sinθ, cosθ]ᵀ. بنحط دول كأعمدة:

الـ rotation matrix

R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}

خد بالك: det(R_θ) = cos²θ + sin²θ = 1 لكل θ. الدوران عمره ما بيغيّر المساحة أو الحجم. وكمان R_θᵀ = R_θ⁻¹ = R_−θ: الـ transpose بتاع الـ rotation matrix هو الـ inverse بتاعها. والـ matrices اللي ليها الخاصية دي اسمها orthogonal (متعامدة).

التركيب: ضرب الـ matrices هو تركيب الدوال

قول إنك عايز تطبّق الـ transformation A الأول وبعده B. بلغة الدوال: B(A(x)) = (B∘A)(x). وبلغة الـ matrices: (BA)x وخلاص. ضرب الـ matrices بيشيل تركيب الـ transformations.

وده بيدّي ضرب الـ matrices معنى هندسي. مثلًا:

الدوران بـ 90° وبعده الانعكاس transformation مختلف عن الانعكاس وبعده الدوران بـ 90°.
التكبير وبعده الدوران مختلف عن الدوران وبعده التكبير (لو معاملات التكبير مختلفة).

الـ matrix اللي على اليمين في حاصل الضرب هي اللي بتتطبّق الأول. في BA، A بتتطبّق الأول وبعدها B. وعشان كده ضرب الـ matrices مش commutative في العموم: AB ≠ BA لأن «اعمل A وبعدين B» غالبًا مختلف عن «اعمل B وبعدين A».

الـ transformations اللي ليها inverse والـ determinant

الـ linear transformation T يبقى invertible (قابل للعكس) لو فيه transformation اسمه T⁻¹ بحيث T⁻¹(T(x)) = x لكل x. هندسيًا: T يبقى invertible لو وبس لو مش "بيطبّق" الفضاء — يعني بيودّي inputs مختلفة لـ outputs مختلفة من غير ما يضيّع معلومات.

والمقياس الجبري هو الـ determinant (المحدد):

الـ determinant بتاع 2×2

\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc

|det(A)| بيقيس المعامل اللي A بتكبّر بيه المساحات (في 2D) أو الأحجام (3D). لو det(A) > 0، الـ orientation (الاتجاهية) بتفضل زي ما هي. لو det(A) < 0، الـ orientation بتتعكس. لو det(A) = 0، الفضاء بيقع في بُعد أقل — والـ transformation مالوش inverse.

أمثلة للـ determinants في الـ transformations المشهورة:

الدوران: det = 1 (المساحات محفوظة، والـ orientation محفوظة)
الانعكاس: det = −1 (المساحات محفوظة، والـ orientation معكوسة)
التكبير بـ (a, d): det = ad (المساحات بتتضرب في ad)
الـ projection على محور x: det = 0 (ℝ² بيقع على خط — مالوش inverse)

تطبيقات الـ linear transformations

الـ linear transformations بتظهر في كل حتة في الرياضيات التطبيقية:

الجرافيكس: matrices الدوران والتكبير والـ projection في 3D بتحوّل الأجسام الـ 3D لشاشات 2D. وكل frame الـ GPU بيرسمه فيه ملايين من عمليات ضرب matrix في vector.
الـ signal processing: الـ discrete Fourier transform (DFT) هو linear transformation من الـ samples الزمنية لمعاملات الترددات. والـ filters هي linear operators.
الـ machine learning: كل layer في الـ neural network بتطبّق linear transformation (matrix الـ weights) وبعده activation function مش linear.
الروبوتات: الـ forward kinematics بتستخدم matrices دوران وإزاحة عشان تحسب مكان دراع الروبوت من زوايا المفاصل.
ميكانيكا الكم: الحالات الكمية vectors في Hilbert space، والـ operators الكمية linear transformations. والقياس هو projection.

أهم النقط

كل matrix بتمثّل linear transformation: دالة على الـ vectors بتحافظ على الجمع والضرب في scalar. أعمدة الـ matrix بتكشف الـ standard basis vectors بتروح فين تحت الـ transformation. الدوران والتكبير والانعكاس والـ shear والـ projection كلهم linear transformations ليهم matrices معروفة. ضرب الـ matrices هو تركيب الـ transformations — الـ matrix اللي على اليمين بتشتغل الأول. والـ determinant بيقيس تغيّر المساحات: det = 0 معناه إن الفضاء وقع (مالوش inverse)، و|det| = 1 معناه إن المساحة محفوظة.