الـ inverse والـ determinant
كل matrix (مصفوفة) بتمثّل transformation. بس هل نقدر نرجع فيه؟ الـ inverse (المعكوس) والـ determinant (المحدد) بيجاوبوا على ده بطريقتين بيكمّلوا بعض — واحد بالجبر والتاني بالهندسة.
نرجع في الـ transformation
الـ inverse A⁻¹ بيحقّق identity من الناحيتين:
لو طبّقت A وبعدين A⁻¹ — أو العكس — بترجع لنقطة البداية. مش كل الـ matrices ليها inverse؛ واللي مالهاش اسمها singular (شاذة).
إمتى الـ inverse بيبقى موجود؟
التلات شروط دول متكافئين — أي واحد فيهم بيجيب التانيين. الـ singular matrix "بتطبّق" الفضاء، وده بيخلّي إنك ترجع مستحيل.
قانون الـ inverse
للـ matrix اللي 2×2، الـ inverse قصير:
الوصفة: بدّل القطر (a↔d)، واقلب إشارة اللي برّه القطر (b, c)، واقسم على det = ad − bc.
الـ row reduction عشان تعكس
لأي مقاس: اعمل الـ augmented matrix [A | I] وبعدين اختزلها.
قواعد العكس
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ — الترتيب بيتعكس (قاعدة الجزمة والشراب)
- (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ — الـ transpose والـ inverse بيتبادلوا
- (A⁻¹)⁻¹ = A — لو عكست مرتين بترجع للأصل
- (cA)⁻¹ = (1/c)A⁻¹ — الثوابت بتتعكس
الـ determinant = معامل التكبير
|det(A)| بيقيس المعامل اللي الـ transformation بيكبّر بيه المساحات (في 2D) أو الأحجام (في 3D). والإشارة بتقولك الـ orientation اتحفظت (موجب) ولا اتقلبت (سالب). وdet = 0 معناه إن الفضاء اتطبّق — ومفيش inverse ممكن.
قانون 2×2 و3×3
للـ matrix اللي 3×3: استخدم الـ cofactor expansion (التوسع بالمرافقات) على أي صف. كل عنصر بيتضرب في determinant فرعي 2×2 بإشارات بتتبادل ±. والطريقة بتتعمّم لأي بُعد.
قواعد الـ determinant
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(A⁻¹) = 1/det(A)
- تبديل صفين بيقلب إشارة الـ determinant؛ وضرب صف في ثابت بيضربه
أهم النقط
- A⁻¹ موجود ↔ A مربعة، full rank، وdet(A) ≠ 0
- الـ inverse لـ 2×2: بدّل القطر، اقلب الجوانب، اقسم على det
- الـ inverse العام: اختزل [A | I] يطلعلك [I | A⁻¹]
- الـ determinant بيقيس تغيّر الحجم؛ والإشارة بتقولك الـ orientation اتقلبت ولا لأ
- det(AB) = det(A)·det(B) — معاملات التكبير بتتضرب في بعض
الوحدة 3: أنظمة المعادلات
لو A⁻¹ موجود، حل Ax = b في الفكرة هو مجرد x = A⁻¹b. بس حساب الـ inverses تقيل. الوحدة 3 هتوريك إزاي الـ Gaussian elimination بيحل الأنظمة على طول — أسرع، وأثبت، وبيكشف شكل الحلول لما ميبقوش حل واحد.