LA 101
M02 · L03
الوحدة 2: الـ matrices

الـ linear transformations

الـ matrices مش مجرد جداول أرقام. هي دوال على الفضاء — بتاخد vectors (متجهات) وتطلّع vectors جديدة. والدوال دي هي linear transformations (تحويلات خطية): بتلفّ الفضاء الهندسي، وبتكبّره، وبتعمله shear، وبتعمله projection.

01 / 12
LA 101
M02 · L03
التعريف

إيه اللي بيخلّيه linear؟

الـ transformation T يبقى linear لو حقّق خاصيتين لكل الـ vectors u, v والـ scalar c:

T(u+v) = Tu + Tv
الإضافية
T(cu) = c·Tu
التجانس

الاتنين مع بعض: T بيحافظ على جمع الـ vectors والضرب في scalar. الخطوط بتفضل خطوط. ونقطة الأصل بتفضل مكانها.

02 / 12
LA 101
M02 · L03
الفكرة الأساسية

الـ matrix = transformation

كل linear transformation من ℝⁿ لـ ℝᵐ تقدر تمثّله كـ ضرب في matrix مقاسها m×n. والعكس، كل matrix بتعرّف linear transformation.

ضرب matrix في vector
T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}
03 / 12
LA 101
M02 · L03
صورة الأعمدة

الأعمدة كـ صور الـ basis

أعمدة الـ matrix A بتقولك بالظبط الـ standard basis vectors (متجهات القاعدة القياسية) بتروح فين. العمود الأول هو المكان اللي e₁ = [1,0]ᵀ بيروحه. والعمود التاني هو المكان اللي e₂ = [0,1]ᵀ بيروحه. وأي vector تاني هو مجرد linear combination من الصور دي.

اقرا أي transformation
عشان تفهم A بتعمل إيه في الفضاء، بص على أعمدتها بس — دي صور الـ standard basis vectors تحت الـ transformation.
تفاعلي: اسحب صورتين الـ basis vectors وبص على الشبكة وهي ماشية وراهم — معمول بالـ AI، بالإنجليزي
04 / 12
LA 101
M02 · L03
المثال الأول

الدوران بزاوية θ

إنك تلفّ كل vector في ℝ² عكس عقارب الساعة بزاوية θ ده linear transformation. والـ matrix بتاعته:

الـ rotation matrix
R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}
05 / 12
LA 101
M02 · L03
أمثلة تانية

transformations مشهورة

  • التكبير — diagonal matrix؛ بتمطّ/بتضغط المحاور كل واحد لوحده
  • الانعكاس — حوالين محور x: [[1,0],[0,−1]]؛ حوالين y: [[−1,0],[0,1]]
  • الـ shear — [[1,k],[0,1]]؛ بيميّل المستوى أفقي
  • الـ projection — على محور x: [[1,0],[0,0]]؛ بيمسح مركّبة y
  • الـ identity — [[1,0],[0,1]]؛ بتودّي كل vector لنفسه
06 / 12
LA 101
M02 · L03
التركيب

transformations ورا بعض

دراع روبوت صناعي لونه كهرماني وفيه كذا مفصل بينزّل صندوق على سير.
كل مفصل بيزوّد حركة واحدة، والقابض بيقف مكان ما السلسلة كلها توديه، بالترتيب. ده هو الـ composition، والترتيب فارق.

إنك تطبّق الـ transformation A وبعده الـ transformation B هو نفس إنك تضرب الـ matrices بتوعهم: (BA)x = B(Ax). ضرب الـ matrices هو تركيب الدوال. والترتيب بيفرق — BA ≠ AB في العموم. الـ matrix اللي على اليمين بتتطبّق الأول.

07 / 12
LA 101
M02 · L03
الـ inverse

transformations ليها inverse

الـ transformation يبقى invertible (قابل للعكس) لو تقدر ترجع فيه — يعني لو كل vector طالع ليه vector داخل واحد بس بيطلّعه. هندسيًا: الـ transformation مش بيطبّق أي بُعد. جبريًا: det(A) ≠ 0.

det ≠ 0
ليه inverse
det = 0
singular
08 / 12
LA 101
M02 · L03
المعنى الهندسي للـ determinant

الـ determinant = مقياس المساحة

|det(A)| بيساوي المعامل اللي الـ transformation بيكبّر بيه المساحات (في 2D) أو الأحجام (في 3D). لو det = 2، كل منطقة مساحتها بتتضاعف. ولو det = 0، الفضاء كله بيقع في subspace بُعده أقل.

الـ determinant بتاع 2×2
\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
09 / 12
LA 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

10 / 12
LA 101
أهم النقاط
ملخص

أهم النقط

  • كل matrix هي linear transformation؛ وكل linear transformation ليه matrix
  • أعمدة A = صور الـ standard basis vectors تحت الـ transformation
  • الدوران والتكبير والـ shear والـ projection والانعكاس — كلهم matrices
  • ضرب الـ matrices = تركيب الـ transformations (بتتطبّق من اليمين للشمال)
  • ليه inverse ↔ det(A) ≠ 0 ↔ الـ transformation مش بيطبّق الفضاء
11 / 12
LA 101
الوحدة القادمة
الجاي

الوحدة 3: أنظمة المعادلات

لما الـ matrices تبقى transformations، حل Ax = b بيبقى: دوّر على الـ vector x اللي صورته تحت A هي b. النظرة الهندسية دي بتخلّي الـ elimination حاجة شيك — وبتمهّد الطريق للـ row reduction والـ rank والـ null space.

الوحدة الجاية
M2-L4: الـ inverse والـ determinant ←
كل الدروس اقرا المقالة
12 / 12