أنواع الـ filters | DSP-101

الأشكال الأساسية الأربعة للـ filters

أي filter (مرشح) هتصمّمه في حياتك هو نوع من أربع أنماط أساسية لاختيار الـ frequencies. كل نمط بيحدّد أنهي frequencies بتعدّي (الـ passband) وأنهي بتتمنع (الـ stopband). وإنك تفهم الأنواع الأربعة دي — والمواصفات اللي بتقيس سلوكها — هو أساس أي تصميم filter عملي.

النوع 1

الـ low-pass filter (مرشح التمرير المنخفض)

بيعدّي الـ frequencies اللي تحت حد القطع ω_p وبيمنع اللي فوق ω_s. أشهر نوع — بيتستخدم لشيل الـ noise وتحديد الـ bandwidth ومنع الـ aliasing.

النوع 2

الـ high-pass filter (مرشح التمرير العالي)

بيعدّي الـ frequencies اللي فوق حد القطع وبيمنع اللي تحتها. بيتستخدم لشيل الـ DC offset، والاهتزازات الواطية، أو عزل المحتوى العالي.

النوع 3

الـ band-pass filter (مرشح التمرير النطاقي)

بيعدّي نطاق من الـ frequencies بين حد أوطى ω_L وحد أعلى ω_H. بيتستخدم في receivers الراديو وbands الـ equalizer واكتشاف النغمات.

النوع 4

الـ band-stop filter (مرشح الحجب النطاقي) (Notch)

بيمنع نطاق من الـ frequencies وبيعدّي كل اللي براه. والنسخة الضيقة — الـ notch filter — بتشيل frequency واحدة عاملة تشويش زي noise الكهربا بتاع 50/60 هرتز.

مواصفات الـ filter

الـ filters الحقيقية متقدرش توصل لـ frequency response مثالي حاد. فبدل كده، بنحدّد مجموعة حدود سماح الـ filter العملي لازم يلتزم بيها. والمواصفات دي بتنعكس على طول على الـ frequency response وبتوجّه كل قرار في التصميم.

للـ low-pass filter، الـ parameters الأساسية هي:

الـ parameter	الرمز	المعنى
حافة الـ passband	ω_p	أعلى frequency لازم تعدّي بـ attenuation مبيعدّيش R_p ديسيبل.
حافة الـ stopband	ω_s	أوطى frequency لازم تتكتم بـ A_s ديسيبل على الأقل.
الـ passband ripple	R_p (dB)	أقصى تذبذب مسموح في الـ gain جوه الـ passband (مثلًا ±0.1 ديسيبل).
الـ stopband attenuation	A_s (dB)	أقل رفض في الـ stopband (مثلًا 60 ديسيبل معناها gain < 0.001).
الـ transition band	Δω = ω_s − ω_p	الفجوة بين الـ passband والـ stopband. كل ما Δω يضيق، درجة الـ filter بتعلى.

قيود الـ passband والـ stopband

1 - \delta_p \leq |H(e^{j\omega})| \leq 1 + \delta_p \;\text{ (passband)}, \quad |H(e^{j\omega})| \leq \delta_s \;\text{ (stopband)}

الـ gain |H(e^jω)| لازم يفضل فوق الحد الأدنى للـ passband وتحت الحد الأعلى للـ stopband. وδ_p وδ_s بيتطلّعوا من المواصفات بالديسيبل: δ_s = 10^(−A_s/20).

الـ low-pass filter

الـ low-pass filter هو التصميم المرجعي اللي كل الأنواع التانية بتطلع منه. والـ frequency response المثالي بتاعه مستطيل: gain 1 من ω = 0 لـ ω = ω_c، وgain صفر فوق كده. وفي تصميم الـ windowed-sinc، ω_c بتتحط في نص الـ transition band: ω_c = (ω_p + ω_s) / 2.

الـ low-pass filter بيظهر تقريبًا في كل سلسلة signal processing. قبل الـ ADC، low-pass filter تناظري بيشيل كل الـ frequencies اللي فوق f_s/2. وبعد الـ DAC، low-pass filter بيشيل الـ spectral images. وفي الصوت، الـ low-shelf filters بتقصّ الناحية العالية. وفي الـ receivers اللاسلكية، الـ low-pass filters بتحدّ bandwidth الـ baseband signal عشان تناسب القناة.

الـ high-pass filter

الـ high-pass filter بيعدّي الـ frequencies العالية وبيمنع الواطية. وأبسط تصميم FIR high-pass بيستخدم الـ spectral inversion (انعكاس الطيف): بتطرح الـ impulse response بتاع low-pass filter من unit impulse (دالة Dirac عند n = 0). لو h_LP[n] low-pass filter متماثل، يبقى:

الـ spectral inversion: LP → HP

h_{\text{HP}}[n] = \delta\!\left[n - \tfrac{N-1}{2}\right] - h_{\text{LP}}[n]

لما تطرح الـ impulse response بتاع الـ LP من unit impulse في النص، الـ spectrum بيتقلب: الـ passband والـ stopband بيبدّلوا أماكنهم. والنتيجة FIR high-pass filter بنفس الطول وبخاصية الـ linear phase.

ده بيشتغل لأن spectrum الـ unit impulse بيساوي 1 لكل الـ frequencies، فـ H_HP(e^jω) = 1 − H_LP(e^jω). وحيث gain الـ LP بيساوي واحد، gain الـ HP بيبقى صفر، والعكس. والشرط الوحيد إن طول الـ filter يبقى فردي عشان التماثل يفضل بعد الطرح.

الـ band-pass filter

الـ band-pass filter بيعدّي نطاق متصل من الـ frequencies، محدّد بحافة passband وطية ω_L وحافة عالية ω_H. وفيه طريقتين معياريتين لبنائه FIR:

الطريقة 1

الفرق بين low-pass filterين

صمّم LP filter واسع حد قطعه ω_H واطرح منه LP filter ضيق حد قطعه ω_L. والنتيجة بتعدّي بس النطاق اللي بين ω_L وω_H. ولازم الـ filterين يبقوا نفس الطول.

الطريقة 2

الـ modulation للـ LP prototype

صمّم LP prototype حد قطعه (ω_H − ω_L)/2، وبعدين اضربه في 2cos(ω_0 n) حيث ω_0 = (ω_H + ω_L)/2. وده بينقل spectrum الـ LP عشان يتمركز حوالين ω_0.

طريقة الـ modulation أنيقة بالذات: لما تضرب معاملات الـ low-pass prototype في cosine عند الـ frequency اللي في النص، الـ passband بتاع الـ LP بيتنسخ لـ ±ω_0 في الـ spectrum، فبيطلع band-pass response متمركز حوالين ω_0. ودي الفكرة ورا الـ channelizing filters في الراديو الرقمي.

الـ band-stop filter (Notch)

الـ band-stop filter — واسمه notch filter لما النطاق الممنوع يبقى ضيق — هو مكمّل الـ band-pass filter. بيعدّي كل حاجة ما عدا نطاق frequency معيّن. والبناء ماشي على نفس فكرة الـ high-pass filter: تقدر تاخد band-stop filter بإنك تطرح band-pass filter من unit impulse (all-pass).

الـ band-stop من الـ band-pass

h_{\text{BS}}[n] = \delta\!\left[n - \tfrac{N-1}{2}\right] - h_{\text{BP}}[n]

لما تطرح الـ impulse response بتاع الـ BP من unit impulse متأخرة بيطلعلك band-stop filter. والتأخير (N−1)/2 بيظبط الـ filterين على بعض في الزمن عشان يتجمعوا بشكل متماسك.

التطبيق الكلاسيكي هو رفض تداخل خطوط الكهربا: notch filter عند 50 هرتز أو 60 هرتز بيشيل noise الكهربا من التسجيلات الطبية الحيوية من غير ما يأثّر على الـ signal في الناحيتين. والـ notches الضيقة محتاجة درجات filter عالية — أو تصميمات IIR — عشان توصل لـ attenuation عميق على bandwidth صغير جدًا.

الـ spectral transformation — الصورة الكاملة

الأربع أنواع كلهم مرتبطين بعمليات حسابية بسيطة على الـ low-pass prototype. الـ LP هو الحالة الأساسية؛ HP = impulse − LP؛ BP = LP_واسع − LP_ضيق؛ BS = impulse − BP. ولو صمّمت LP filter واحد كويس بتاخد التلاتة التانيين ببلاش، بنفس درجة الـ filter ونفس ضمان الـ linear phase.

LP → HP → BP → BS: prototype واحد، أربع أنواع filters.

المواصفات لكل نوع

الأربع أنواع بيشتركوا في نفس مفردات المواصفات (الـ passband، الـ stopband، الـ ripple، الـ attenuation)، بس كل نوع بيختلف شوية في الـ parameters بتاعته:

نوع الـ filter	الـ passband	الـ stopband	الـ parameter الأساسي
low-pass	0 … ω_p	ω_s … π	حد القطع ω_c، الانتقال Δω
high-pass	ω_p … π	0 … ω_s	حد القطع ω_c، الانتقال Δω
band-pass	ω_L … ω_H	0…ω_s1، ω_s2…π	النص ω_0، الـ bandwidth BW
band-stop	0…ω_p1، ω_p2…π	ω_s1 … ω_s2	نص الـ notch، عرض الـ notch

التحويل بين الأنواع بالـ spectral transformation

جنب الجمع الحسابي لـ LP filters، فيه نظرية رسمية للـ spectral transformations بتربط الـ LP prototype بأي نوع تاني بإنك تحط دالة جديدة في z مكان z^(−1) في الـ transfer function. وفي الـ IIR filters بالذات، الطريقة دي بتخلّيك تحوّل تصميم LP معروف (زي Butterworth) لتصميم HP أو BP أو BS تحليليًا، مع الحفاظ على شكل الـ magnitude response وتحويل محور الـ frequency وتكبيره.

في الـ FIR filters، طريقة الجمع الحسابي (الفرق بين LP filters، والـ modulation) هي المفضّلة عادةً لأنها بتخلّي التصميم بسيط وبتحافظ على خاصية الـ linear phase. أما في الـ IIR filters، فالـ spectral transformation في الـ z-domain هو الطريق المعياري.

تطبيقات عملية

low-pass

الـ anti-aliasing والـ smoothing

تحديد الـ band قبل الـ sampling في الـ ADC؛ reconstruction filter بعد الـ DAC؛ sensors بتاخد متوسط؛ شيل الـ noise العالي من القياسات.

high-pass

شيل الـ DC والاهتزازات

شيل الـ DC offset من الصوت؛ التخلّص من الاهتزاز الميكانيكي الواطي من أجهزة قياس الزلازل؛ النسخة الرقمية من الـ AC coupling التناظري.

band-pass

اختيار القناة والـ equalization

channel filter في الـ SDR؛ bands الـ equalizer الـ parametric؛ اكتشاف نغمات DTMF؛ عزل نطاقات موجات المخ في الـ EEG (ألفا، بيتا، ثيتا).

band-stop

رفض التداخل

شيل noise الـ 50/60 هرتز من الـ ECG والصوت؛ رفض التداخل الضيق في الرادار؛ كتم تداخل الـ CW في الاتصالات.

أهم النقط

الأربع أنواع الأساسية للـ filters هما: الـ low-pass، والـ high-pass، والـ band-pass، والـ band-stop (الـ notch).
مواصفات الـ filter بتستخدم حافة الـ passband ω_p، وحافة الـ stopband ω_s، والـ ripple R_p (ديسيبل)، والـ attenuation A_s (ديسيبل).
الـ transition band Δω = ω_s − ω_p بيحدّد درجة الـ filter: كل ما الانتقال يضيق الـ filter بيطوّل.
الـ FIR high-pass filters بتطلع بالـ spectral inversion: h_HP[n] = δ[n − (N−1)/2] − h_LP[n].
الـ band-pass filters بتتصمّم بطرح low-pass filterين (LP_واسع − LP_ضيق) أو بالـ modulation للـ LP prototype لحد الـ frequency اللي في النص.
الـ band-stop filters بتطلع بطرح الـ band-pass filter من all-pass (unit impulse).
كل الأنواع بتورث خاصية الـ linear phase من الـ LP prototype لما تتبني بالجمع الحسابي FIR.
في الـ IIR filters، الـ spectral transformation الرسمي في الـ z-domain بيربط الـ LP prototypes (Butterworth، Chebyshev) بتصميمات HP أو BP أو BS.