الـ region of convergence (منطقة التقارب) | DSP-101

ليه التقارب يهمّنا؟

في الدرس 4.1 كتبنا تعريف تحويل Z: X(z) = Σ x[n] z⁻ⁿ من غير ما نسأل سؤال أساسي: المجموع اللانهائي ده بيتقارب فعلًا لأنهي قيم من z؟ الإجابة هي الـ region of convergence (منطقة التقارب) أو ROC — مجموعة الأعداد المركّبة z اللي المجموع عندها بيبقى محدود.

الـ ROC مش مجرد تفصيلة تقنية ممكن تتجاهلها. فيه sequenceين مختلفين خالص ممكن يشتركوا في نفس التعبير الجبري X(z) بس الـ ROC بتاعتهم مختلفة، فبيطلعلهم معكوسين مختلفين. الـ ROC بتشفّر هل الـ signal causal ولا anti-causal ولا ثنائية الجانب، وبتحدّد هل الـ transfer function H(z) بتقابل نظام مستقر. فإنك تفهم الـ ROC ضروري عشان تعكس تحويل Z صح وتحلّل الاستقرار بدقة.

شرط الـ absolute convergence

\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|\,|z|^{-n} < \infty

تحويل X(z) بيتقارب حيث المجموع ده محدود. وبما إن |z⁻ⁿ| = r⁻ⁿ مع r = |z|، التقارب معتمد بس على مقدار z، وده بيخلّي الـ ROC منطقة على شكل حلقة في المستوى المركّب.

لأن شرط التقارب معتمد بس على r = |z|، الـ ROC دايمًا بتاخد شكل حلقة (أو بتقع لحالة خاصة): مجموعة دواير مركزها الأصل. والبساطة الهندسية دي بتخلّي الـ ROC سهلة ترسمها على مستوى z، وبيطلع منها تلات أشكال نموذجية، واحد لكل نوع من الـ sequences.

الـ right-sided sequences: الـ ROC برا دايرة

الـ right-sided sequence (المتتالية ذات الجانب الأيمن) هي sequence بتساوي صفر لـ n < N لقيمة محدودة N (ممكن تبدأ قبل n = 0 بس في الآخر بتبقى صفر ناحية الشمال). وأشهر حالة هي الـ causal sequence اللي فيها x[n] = 0 لـ n < 0.

في الـ sequences دي السلوك عند قيم n الكبيرة هو اللي بيحكم. المجموع بيتقارب لما z يبقى كبير كفاية إن صغر |z⁻ⁿ| يغلب كبر |x[n]|. وبالتحديد، لو x[n] بيكبر مش أسرع من r₀ⁿ، يبقى X(z) بيتقارب لـ |z| > r₀ — برا دايرة نص قطرها r₀.

الـ ROC للـ exponential الـ causal

\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{z}{z-a}, \quad |z| > |a|

الـ exponential الـ causal aⁿu[n] الـ ROC بتاعته |z| > |a| — برا الدايرة اللي نص قطرها |a|. والـ pole عند z = a واقع على حدود الـ ROC ومش داخل فيها.

خد بالك إن الـ pole عند z = a واقع على حدود الـ ROC بس عمره ما بيبقى جوّاها. ودي قاعدة عامة: الـ ROC مفيهاش أي poles. الـ poles هي قيم z اللي X(z) بيتباعد عندها — وهي اللي بتعلّم حدود المكان اللي المجموع بيتقارب فيه.

الـ left-sided sequences: الـ ROC جوه دايرة

الـ left-sided sequence (المتتالية ذات الجانب الأيسر) هي sequence بتساوي صفر لـ n > N لقيمة محدودة N. وأقصى حالة هي الـ anti-causal sequence اللي فيها x[n] = 0 لـ n > 0. والـ sequences دي محتاجة z صغير كفاية — بالتحديد |z| < r₀ لـ r₀ ما.

الصورة الـ causal

\mathcal{Z}\{a^n u[n]\} = \frac{z}{z-a}, \quad |z|>|a|

causal: aⁿu[n] → z/(z−a)، ROC: |z| > |a|. الـ ROC برا دايرة.

الصورة الـ anti-causal

\mathcal{Z}\{-a^n u[-n-1]\} = \frac{z}{z-a}, \quad |z|<|a|

anti-causal: −aⁿu[−n−1] → z/(z−a)، ROC: |z| < |a|. نفس التعبير X(z) لكن منطقة تقارب مختلفة ومتتالية مختلفة.

المقارنة دي جنب بعض هي أهم توضيح لليه الـ ROC مهمة. الـ sequenceين بيطلّعوا نفس التعبير الـ rational بالظبط z/(z−a)، ومع ذلك بيمثّلوا signalين مختلفين خالص في الـ time domain — واحدة causal وبتصغر (لو |a| < 1)، والتانية anti-causal وبتكبر. ومن غير ما تحدد الـ ROC، معكوس تحويل Z بيبقى فيه لبس.

الـ two-sided sequences: الـ ROC على شكل حلقة

الـ two-sided sequence (المتتالية ثنائية الجانب) مش صفر لـ n > 0 ولـ n < 0 الاتنين. وتحويل Z لازم يتقارب في الاتجاهين في نفس الوقت، فلازم |z| ميبقاش كبير أوي ولا صغير أوي. والـ ROC بتبقى حلقة r₁ < |z| < r₂.

مثال ثنائي الجانب

x[n]=a^n u[n] - b^n u[-n-1] \;\Rightarrow\; X(z)=\frac{z}{z-a}+\frac{z}{z-b},\quad |b|<|z|<|a|

sequence ثنائية الجانب مبنية من exponentialين ليها ROC على شكل حلقة |b| < |z| < |a| (بافتراض |b| < |a|). ولو |b| ≥ |a|، الـ ROC بتبقى فاضية ومفيش تحويل Z.

الـ ROC الحلقية ممكنة بس لو نص القطر الداخلي أصغر تمامًا من نص القطر الخارجي. ولما تفكّك X(z) بالـ partial fractions (الكسور الجزئية)، كل حد بيساهم يا بـ ROC برّانية يا جوّانية، والـ ROC الكلية هي تقاطع كل الـ ROCs الجزئية. ولو التقاطع فاضي، الـ sequence ملهاش تحويل Z.

القواعد الخمسة للـ ROC

فيه قواعد عامة بتحكم الـ ROC مهما كانت الـ sequence. ولو أتقنتها تقدر تحدد الـ ROC بسرعة من الـ pole-zero plot لوحده.

القاعدة 1

شكل الحلقة

الـ ROC دايمًا حلقة r₁ < |z| < r₂ مركزها الأصل (مع السماح بـ r₁ = 0 أو r₂ = ∞ كحالات خاصة).

القاعدة 2

مفيش poles جوه الـ ROC

الـ ROC مفيهاش أي poles لـ X(z). الـ poles بتقع على الحدود أو برا الـ ROC.

القاعدة 3

right-sided ← برّانية

لو x[n] right-sided، تبقى الـ ROC برا دايرة |z| > r₁، وممكن تشمل z = ∞ لو كانت causal (N ≥ 0).

القاعدة 4

left-sided ← جوّانية

لو x[n] left-sided، تبقى الـ ROC جوه دايرة |z| < r₂، وممكن تشمل z = 0 لو كانت anti-causal (N ≤ 0).

القاعدة 5

FIR → كل z (ما عدا 0/∞)

لو x[n] مدتها محدودة (FIR)، تبقى الـ ROC هي المستوى z كله ما عدا يمكن z = 0 أو z = ∞ (حسب امتداد الـ sequence).

القاعدة 6

X(z) rational → الحدود عند pole

لو X(z) rational، حدود الـ ROC بتعدّي على أبعد pole أو أقرب pole، ومبتقعش بين الـ poles.

الـ ROC والاستقرار

العلاقة بين الـ ROC واستقرار النظام من أعمق النتايج في نظرية تحويل Z. افتكر إن نظام LTI بيبقى BIBO stable لو وبس لو الـ impulse response بتاعه h[n] absolutely summable: Σ|h[n]| < ∞. وده بالظبط شرط إن H(z) يتقارب على دايرة الوحدة.

نظرية الاستقرار

نظام LTI الـ transfer function بتاعه H(z) بيبقى BIBO stable لو وبس لو دايرة الوحدة |z| = 1 داخلة في الـ ROC بتاعة H(z).

للنظام الـ causal (h[n] right-sided)، ده معناه إن كل poles H(z) لازم تقع جوه دايرة الوحدة تمامًا.

causal + مستقر ⟺ كل الـ poles جوه |z| = 1، والـ ROC بتشمل |z| = 1

النتيجة دي بتوحّد شروط الاستقرار في الـ frequency domain والـ time domain. وبتشرح كمان الصورة الهندسية اللي قدّمناها في الدرس 4.1: الـ mapping z = e^sT بيودّي المحور التخيلي في المستوى s لدايرة الوحدة في المستوى z، فـ "النص الشمال = جوه دايرة الوحدة" ماشية على طول مع الـ poles المستقرة في المجالين.

نتيجة عملية: لما تصمّم filters رقمية، لازم تتأكد إن كل poles H(z) مقدارها أصغر من 1. وإطار الـ ROC بيخلّي الشرط ده دقيق وممكن يتختبر — بس حدّد الـ poles على مستوى z واتأكد إنها جوه دايرة الوحدة.

اختيار المعكوس الصح

معكوس تحويل Z بيرجّع x[n] من X(z) عن طريق contour integral حوالين مسار مقفول جوه الـ ROC. ولما X(z) تبقى rational، الـ partial fractions هي الطريقة العملية، والـ ROC بتحدّد الزوج المعكوس المناسب لكل حد.

معكوس تحويل Z (الـ contour integral)

x[n] = \frac{1}{2\pi j}\oint_C X(z)\,z^{n-1}\,dz

معكوس تحويل Z بيكامل X(z)z^(n−1) حوالين مسار C عكس عقارب الساعة جوه الـ ROC. وعمليًا، الـ partial fractions وجدول الأزواج المعروفة بيغنوك عن التكامل ده.

القاعدة بسيطة: لـ pole عند z = a، لو الـ ROC هي |z| > |a|، يبقى الحد الزمني المقابل causal (aⁿu[n])؛ ولو الـ ROC هي |z| < |a|، يبقى الحد anti-causal (−aⁿu[−n−1]). يعني تحديد الـ ROC بيثبّت المعكوس الوحيد لتحويل Z.

الدرس الجاي بيستعرض الـ poles والـ zeros والـ pole-zero plot — التمثيل بالرسم للـ transfer function على مستوى z اللي بيخلّي الـ frequency response والاستقرار وبنية الـ ROC تتقري على طول.

أهم النقط

الـ ROC هي مجموعة قيم z اللي مجموع تحويل Z بيتقارب عندها تقارب مطلق؛ ودايمًا بتاخد شكل حلقة مركزها الأصل.
الـ ROC مفيهاش أي poles لـ X(z).
الـ right-sided sequences (الـ causal) الـ ROC بتاعتها = برا دايرة (|z| > r)؛ والـ left-sided الـ ROC بتاعتها = جوه دايرة (|z| < r)؛ والثنائية الجانب الـ ROC بتاعتها حلقة.
نفس التعبير الـ rational X(z) ممكن يقابل sequences مختلفة حسب الـ ROC المحددة — الـ ROC ضرورية عشان معكوس تحويل Z يطلع واحد بس.
نظام LTI الـ causal بيبقى BIBO stable لو وبس لو كل الـ poles واقعة جوه دايرة الوحدة تمامًا (الـ ROC بتشمل دايرة الوحدة).
عشان تعكس الـ partial fractions: pole مع ROC |z| > |a| بيدّي aⁿu[n]؛ وROC |z| < |a| بيدّي −aⁿu[−n−1].