مقالة · الوحدة 2، الدرس 1

تشريح الـ sine wave (الموجة الجيبية)

14 دقيقة قراية
مبتدئ
EN فصحى مصري

الإشارة في قلب كل حاجة

أي إشارة لاسلكية — packets الـ Wi-Fi ومزيكا راديو الـ FM وبيانات الـ 5G وإحداثيات الـ GPS — مبنية في الآخر من طوبة واحدة أساسية: الـ sine wave (الموجة الجيبية). وقبل ما نقدر نفهم الـ modulation (التضمين) أو الـ interference (التداخل) أو أي فكرة لاسلكية تانية، لازم نفهم شكل الموجة ده كويس أوي.

الـ sine wave هي أبسط إشارة بتتذبذب ممكن تتخيّلها — الناتج الطبيعي لأي حاجة بتلف أو بتتذبذب بانتظام. وبتتوصف بتعبير رياضي قصير:

معادلة الـ sine wave
x(t) = A\sin(2\pi f t + \varphi)

أي sine wave بتتوصف بالكامل بتلات parameters: الـ amplitude (السعة) A والـ frequency (التردد) f والـ phase (الطور) φ. غيّر أي واحد منهم يطلعلك موجة مختلفة.

تلات أرقام. ده كل اللي محتاجه عشان تحدّد أي sine wave بالكامل. يلا نفهم كل واحد فيهم.

الـ parameters التلاتة

A
الـ amplitude (السعة)
القيمة القصوى للموجة. بتتحكّم في "قوة" الإشارة. بتتقاس بالفولت أو الوات أو أي وحدة مناسبة.
f
الـ frequency (التردد)
عدد الدورات الكاملة في الثانية (Hz). إشارة 1 MHz بتكمّل مليون دورة كل ثانية.
φ
الـ phase (الطور)
مكان الموجة في دورتها عند t = 0. بيتقاس بالراديان أو الدرجات. وهو حاسم في تأثيرات الـ interference.

الـ amplitude: الإشارة قوية قد إيه؟

الـ amplitude A هي أقصى بُعد للموجة عن الصفر. في الإشارة الكهربائية بتتقاس بالفولت؛ في موجة الصوت بالباسكال؛ وفي موجة الراديو بفولت/متر. ضاعف الـ amplitude والقدرة تتضاعف أربع مرات — القدرة بتتناسب مع A².

في الأنظمة اللاسلكية، الـ amplitude بتقولك الإشارة تقدر تسافر لحد فين. ولما موجة الراديو بتنتشر من الـ antenna (الهوائي)، قدرتها بتقل مع المسافة حسب قانون التربيع العكسي: ضاعف المسافة والقدرة تنزل للربع — يعني الـ amplitude تنزل للنص. وعشان كده أبراج الموبايل لازم تبقى كتير كفاية إن موبايلك ميبقاش بعيد أوي عن أي واحد فيهم.

أرقام حقيقية

جهاز إرسال راديو FM بيطلّع عادةً 50,000 وات. ولما الإشارة توصل لـ antenna عربيتك على بعد كام كيلومتر، ممكن الـ amplitude بتاعتها تبقى كام ميكروفولت بس — أضعف بتريليون مرة. ومع كده الـ receiver بتاعك يقدر يفكّ الصوت بدقة تامة.

الـ frequency: بتتذبذب بسرعة قد إيه؟

الـ frequency f بتتقاس بالهيرتز (Hz)، و1 Hz = دورة واحدة في الثانية. طيف الراديو ممتد على مدى ضخم: من كام Hz (frequency واطية جدًا، بتستخدم في التواصل مع الغواصات) لحد مئات الـ GHz (الـ mmWave بتاعة الـ 5G).

ومربوط بالـ frequency كميتين مهمين كمان:

الـ period (الدورة) والـ angular frequency (التردد الزاوي)
T = \frac{1}{f}, \quad \omega = 2\pi f

الـ period T هو زمن دورة كاملة واحدة. والـ angular frequency ω (أوميجا) هي الـ frequency متقاسة بالراديان في الثانية بدل الدورات في الثانية.

الـ angular frequency ω بتظهر بشكل طبيعي في رياضيات الأنظمة اللي بتتذبذب وفي تحليل فورييه. ولما تشوف ω في معادلات الكورس ده، بدّلها في دماغك بـ 2πf — الاتنين نفس المعنى.

ليه الـ frequency مهمة أوي في الاتصالات اللاسلكية؟ لأن الـ wavelength (الطول الموجي) λ = c/f، وc هي سرعة الضوء. عند 100 MHz (راديو FM)، الـ wavelength بيبقى 3 متر — حجم antenna معقول. عند 2.4 GHz (Wi-Fi)، 12.5 سم — يركب في الموبايل. وعند 60 GHz (mmWave)، 5 مم — antennas صغيرة جدًا لـ bandwidth ضخم.

الـ phase: الموجة بتبدأ منين؟

الـ phase φ بيحدّد نقطة البداية للـ sine wave — هي ماشية قد إيه في دورتها عند الزمن t = 0. phase بـ 0 يعني إن الموجة بتبدأ من الصفر وطالعة. phase بـ π/2 راديان (90°) يعني إنها بتبدأ من القمة الموجبة. وphase بـ π (180°) يعني إنها بتبدأ من الصفر ونازلة.

ممكن الـ phase يبان تفصيلة صغيرة، بس هو أهم parameter في هندسة الاتصالات اللاسلكية. فروق الـ phase بين الإشارات هي اللي بتحدّد إذا كانت هتتداخل بشكل بنّاء (تتجمّع) ولا هدّام (تلغي بعض). والـ PSK (تضمين إزاحة الطور) بيشفّر البيانات الـ digital بإنه يغيّر الـ phase بتاع الـ carrier (الحامل) — وبيستخدم في تقريبًا كل معيار لاسلكي حديث، منهم Wi-Fi وLTE و5G.

فرق الـ phase بين موجتين
\Delta\varphi = \varphi_1 - \varphi_2

لما Δφ = 0°، الموجات بتتجمّع (بنّاء). لما Δφ = 180°، بتلغي بعض (هدّام). وأغلب الحالات الحقيقية بتقع في حتة في النص.

من الـ sine للـ cosine — والعكس

هتلاقي الإشارات اللاسلكية مكتوبة كـ cosine بدل sine كتير. الاتنين زي بعض بالظبط ما عدا إزاحة phase بـ 90°: cos(θ) = sin(θ + π/2). المهندسين بيفضّلوا الـ cosine للـ carriers لأن الـ phase بتاع الـ cosine بيساوي صفر عند t = 0، وده بيخلّي الرياضيات أشيك.

والأهم من كده، إن أي إشارة sine حقيقية ممكن تتحلّل لمكوّنين — cosine (مكوّن الـ in-phase (الطور) أو I) وsine (مكوّن الـ quadrature (التربيع) أو Q):

تمثيل الـ I/Q
A\cos(2\pi f t + \varphi) = I\cos(2\pi f t) - Q\sin(2\pi f t)

تمثيل الـ I/Q أساسي في الـ modulation اللاسلكي الحديث — ده اللي بيخلّي الـ smartphones تشفّر عشرات الـ bits في كل symbol باستخدام الـ QAM. هنبني على ده في الوحدة 5.

الـ sine wave في الحقيقة

الـ sine wave النضيفة المثالية دي تجريد رياضي. الإشارات اللاسلكية الحقيقية:

محدودة في الـ bandwidth: عمرها ما بتبقى frequency واحدة، لكنها بتشغل نطاق ضيق من الـ frequencies (bandwidth (عرض النطاق)). وعشان كده بنتكلّم عن "الـ bandwidth عند 3 dB" لأي إشارة.

محدودة في الزمن: الإشارة اللي بتبدأ وبتقف عند لحظتين محدّدين مينفعش تبقى sine نضيفة — لازم يكون فيها انتشار من الـ frequencies. والمقايضة الأساسية دي بين الزمن والـ frequency بيلخّصها مبدأ عدم اليقين بتاع هايزنبرج وتحويل فورييه.

جاية معاها noise: الـ thermal noise (الضوضاء الحرارية) العشوائي بيركب على كل إشارة حقيقية، فبيغيّر الـ amplitude والـ phase بتوعها بمقدار عشوائي صغير.

ورغم العيوب دي، نموذج الـ sine wave دقيق كفاية إننا نصمّم بيه أنظمة بتشتغل بثقة على مليارات الأجهزة حوالين العالم.

أهم النقط
  • أي sine wave بتتوصف بتلات parameters: الـ amplitude A (القوة)، الـ frequency f (سرعة التذبذب)، الـ phase φ (مكان البداية)
  • المعادلة كاملة: x(t) = A sin(2πft + φ)
  • الـ period T = 1/f والـ angular frequency ω = 2πf طرق تانية للتعبير عن نفس التذبذب
  • الـ wavelength λ = c/f — frequencies أعلى يعني wavelengths أقصر وantennas أصغر
  • الـ phase بيحدّد الـ interference: 0° ← بنّاء، 180° ← هدّام
  • تمثيل الـ I/Q بيحلّل أي sine wave لمكوّني الـ in-phase والـ quadrature — أساس الـ modulation الـ digital الحديث