STAT 101
M05 · L02
الوحدة 5 · الدرس 2
الـ confidence intervals
الـ point estimate بيدّي تخمين واحد. الـ confidence interval (فترة الثقة) بتدّي مدى — وبتقولك تثق فيه قد إيه. نفس البيانات، وحكاية أغنى.
01 / 13
STAT 101
M05 · L02
أشهر غلطة
الـ confidence interval مش إيه
«احتمال إن μ تقع جوه الفترة دي 95%.» غلط. μ رقم ثابت — يا إما جوه يا إما لأ. مفيش احتمال.
الكلام الصح
95% من الفترات اللي الطريقة دي بتطلّعها هيبقى فيها μ. الطريقة — مش الفترة دي بالذات.
02 / 13
STAT 101
M05 · L02
الثقة معناها إيه بجد
طريقة مش احتمال
- كرّر التجربة 100 مرة
- احسب confidence interval 95% كل مرة
- حوالي 95 فترة منهم فيها μ الحقيقي
- والخمسة التانيين بيفوّتوه — ومش عارفين أنهي
- «واثق» = الطريقة بتنجح 95% من الوقت
03 / 13
STAT 101
M05 · L02
لما σ تبقى معروفة
فترة z
فترة z للـ mean
\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}
90%
z = 1.645
95%
z = 1.960
99%
z = 2.576
04 / 13
STAT 101
M05 · L02
الـ pivot الواقعي
الـ t distribution بتاع Student
- تبديل σ بـ S → الـ pivot مبقاش normal
- بيمشي على t بـ n−1 degrees of freedom
- ديول أتقل من الـ normal: عدم يقين أكبر
- لما n → ∞، tn−1 → N(0,1)
- اشتقّه جوسيت سنة 1908 («Student»)
05 / 13
STAT 101
M05 · L02
لما σ مش معروفة (دايمًا)
فترة t
فترة t للـ mean
\bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\dfrac{s}{\sqrt{n}}
مثال
n=16, x̄=12.3, s=2.4
t₀.₀₂₅,₁₅ = 2.131
الفترة: (11.02, 13.58)
t₀.₀₂₅,₁₅ = 2.131
الفترة: (11.02, 13.58)
06 / 13
STAT 101
M05 · L02
فترة t بتبقى صالحة إمتى؟
اتأكد من افتراضاتك
- population normal: مظبوطة لأي n
- n كبير (≥ 30): الـ central limit theorem بتخلّيها صالحة تقريبًا
- populations skewed: يُفضّل n ≥ 50
- الـ outliers: اتأكد بـ box plot الأول — t حساسة لما n صغير
07 / 13
STAT 101
M05 · L02
النتايج الفئوية
confidence interval لنسبة
فترة Wald لـ p
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
مثال استطلاع
n=400, p̂=0.55
فترة 95%: 0.55 ± 0.049
= (0.501, 0.599)
فترة 95%: 0.55 ± 0.049
= (0.501, 0.599)
08 / 13
STAT 101
M05 · L02
التحكم في عرض الفترة
أدوات التحكم التلاتة
- بيانات أكتر: الـ margin of error بينكمش بـ 1/√n — لو كبّرت n أربع مرات E بيقل للنص
- ثقة أقل: z أو t أصغر — بس معدل الخطأ أعلى
- انتشار أقل (σ): أجهزة أدق، وشروط اختيار أصرم
09 / 13
STAT 101
M05 · L02
خطّط قبل ما تجمع
الـ sample size للـ mean
الـ n المطلوب
n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{\!2}
حدّد الـ margin of error اللي عايزه E، عوّض zα/2 وσ، وحل عشان تجيب n. دايمًا قرّب لفوق.
10 / 13
STAT 101
M05 · L02
التخطيط للنسب
الـ sample size للنسبة
الـ n المطلوب
n = \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^{\!2}\hat{p}(1-\hat{p})
ليه 1000 في الاستطلاعات؟
p̂=0.5, E=0.03, ثقة 95%
n = (1.96/0.03)² × 0.25 ≈ 1068
n = (1.96/0.03)² × 0.25 ≈ 1068
11 / 13
STAT 101
الخلاصة
مراجعة
اتعلّمت إيه
- الفترة = طريقة، مش كلام احتمالي عن فترة واحدة
- فترة z: x̄ ± z·σ/√n (نادرة؛ محتاجة σ معروفة)
- فترة t: x̄ ± t·s/√n (الممارسة القياسية؛ ديول أتقل)
- فترة النسبة: p̂ ± z·√(p̂(1−p̂)/n)
- العرض = 2E: بيتحكم فيه n ومستوى الثقة وσ
13 / 13