الـ vector spaces والـ subspaces
من أول درس وإنت بتقرا كلمة «فضاء»، ومحدش قالك معناها بالظبط إيه. جه الوقت. الـ vector space (الفضاء المتجهي) هو أي مجموعة الجمع والتكبير فيها بيتصرّفوا زي ما إنت متوقّع بالظبط. والـ subspace (الفضاء الجزئي) فضاء قاعد جوا فضاء أكبر — وده التعريف اللي باقي الكورس ساند عليه أكتر من أي حاجة تانية.
يعني إيه vector space؟
الـ vector space مجموعة اسمها V ومعاها عمليتين: تجمع عنصرين من V، أو تضرب عنصر منها في رقم حقيقي. والنتيجتين لازم يرجعوا جوا V. دي الفكرة كلها. والباقي تفاصيل.
الـ axioms
تمن axioms (بديهيات)، وإنت ماشي عليهم كلهم من غير ما تفكّر. وكلهم على بعض بيقولوا حاجة واحدة: الجمع والتكبير مش هيفاجئوك.
- الـ closure — u + v وc u بيفضلوا في V
- الجمع مش فارق معاه الترتيب — تبديلي وتجميعي
- صفر — الـ zero vector في V، وv + 0 = v
- معكوسات — لكل v فيه −v
- التكبير عادل — بيتوزّع، و1 v = v
كثيرات الحدود vectors كمان
خد كل كثيرة حدود درجتها 2 أو أقل: الشكل a + bx + cx². اجمع اتنين، يطلعلك واحدة تالتة من نفس النوع. كبّر واحدة، يطلعلك واحدة تانية. كل axiom متحققة، فالمجموعة دي vector space — ومفيش ولا سهم في الصورة.
يعني إيه subspace؟
الـ subspace مجموعة فرعية من vector space، وهي نفسها vector space كامل، بنفس الجمع ونفس التكبير. مش أي مجموعة فرعية — لازم تبقى مقفولة، فمتقدرش تخرج منها بأي عملية.
الاختبار التلاتي
مش هتتأكد من تمن axioms تاني. الفضاء الأم بيوفّرهم لك. إنت بتتأكد من تلات حاجات بس، وبالترتيب ده.
- فيها الـ zero vector — هل 0 جوا S؟
- مقفولة تحت الجمع — u وv في S ⇒ u + v في S
- مقفولة تحت التكبير — u في S ⇒ c u في S لكل c حقيقي
مستوى بيعدّي بنقطة الأصل
اتنين vectors في ℝ³. حرّك الـ sliders عشان تلفّ v وبص على الصفيحة اللي بيرسموها. نيّم v على u والمستوى يقع لحد ما يبقى خط.
أمثلة محلولة
المثال الأول. في ℝ³، خلّي S كل vector الإحداثي الأخير بتاعه صفر — يعني المستوى xy. طبّق الاختبار.
- الصفر؟ الإحداثي الأخير في (0, 0, 0) صفر. آه.
- المجاميع؟ 0 + 0 = 0، فالمجموع بيفضل نايم.
- التكبير؟ c · 0 = 0، وبيفضل نايم.
المثال المضاد
في ℝ²، خد الخط y = x + 1. ده خط بكل معنى الكلمة، ورسمه مش مختلف عن أي subspace. بس هو مش subspace — وأول بند في الاختبار كفاية يوقّعه.
- الصفر؟ لأ: 0 ≠ 0 + 1. الاختبار خلص.
- المجاميع؟ (0,1) + (1,2) = (1,3)، و3 ≠ 1 + 1. طلعنا برّه.
- قاعدة عملية — الخط أو المستوى ميبقاش subspace إلا لو عدّى بنقطة الأصل.
الـ span
شفت الـ span (المدى) كصورة في الدرس التالت: الفضاء اللي تقدر توصله. ودي الجملة اللي ورا الصورة — والمفيد فيها إن الـ span دايمًا subspace، من غير اختبار.
الـ basis والـ dimension
الـ basis (الأساس) مجموعة بتولّد الفضاء من غير زيادة: شيل منها vector واحد والـ span يصغر. وطلع إن كل basis لنفس الفضاء فيه نفس العدد من الـ vectors، والعدد ده هو الـ dimension (البُعد).
ليه هتحتاجه
الوحدة التالتة بتسأل: أنهي vectors الـ matrix بتسحقها للصفر؟ المجموعة دي — الـ null space (الفضاء الصفري) — هي subspace، والـ dimension بتاعها هو الـ nullity (بُعد العدم). وأعمدة الـ matrix بتولّد subspace تاني الـ dimension بتاعه هو الـ rank (الرتبة). الـ rank والـ nullity حسابات على الـ subspaces.
تلات طرق تقول بيها كبير قد إيه
الـ norm (المعيار) بيدّي الـ vector طول. الوحدة الحداشر معتمدة على L1 وL2 طول الوقت؛ والتالت مفيد بنفس القدر ونادرًا ما بيتعرّف. L2 هو الطول المستقيم من الدرس التالت. L1 بيجمع القيم المطلقة. وL∞ بياخد أكبرهم ويتجاهل الباقي.
الـ unit ball
الـ unit ball (كرة الوحدة) هي كل vector طوله مش أكتر من 1. حرّك p وبص على الشكل وهو بيتغيّر: معيّن عند p = 1، ودايرة عند p = 2، ومربع لما p يكبر من غير حدود.
اتعلّمت إيه
الـ vector space مجموعة مقفولة تحت الجمع والتكبير — والأسهم اختيارية. والـ subspace فضاء جوا فضاء، وتلات اختبارات بتحسم أمره: الصفر، والمجاميع، والتكبير. الـ span هو كل اللي تقدر توصله، والـ basis مجموعة مولّدة من غير زيادة، والـ dimension بيعدّها. وL1 وL2 وL∞ بيقيسوا الحجم بتلات طرق مختلفة.