LA 101
M02 · L01
الوحدة 2

يعني إيه matrix؟

الـ vectors (المتجهات) كانت أسهم. دلوقتي هنرتّب الأرقام في مستطيلات ونكتشف إننا نقدر نوصف أنظمة كاملة مرة واحدة. أهلًا بيك في دنيا الـ matrices (المصفوفات).

01 / 13
LA 101
M02 · L01
التعريف

جدول أرقام

الـ matrix هي جدول أرقام مستطيل مترتب في صفوف وأعمدة. اعتبرها شيت: كل خانة فيها رقم واحد، والمكان بيفرق.

matrix مقاسها 2×3
A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \end{bmatrix}
02 / 13
LA 101
M02 · L01
الشكل

أبعاد الـ matrix

الـ matrix اللي m × n فيها m صف وn عمود. دايمًا الصفوف الأول وبعدها الأعمدة. الـ matrix اللي 3×2 فيها 3 صفوف وعمودين — يعني 6 عناصر على بعض.

الصفوف
m
الأعمدة
n
الإجمالي
m×n
03 / 13
LA 101
M02 · L01
الاتفاق

رموز الـ matrix

بنسمّي الـ matrices بحروف كابيتال تقيلة: A، B، M. والعناصر لوحدها بنكتبها بحروف صغيرة وتحتها أرقام: aij هو العنصر اللي في الصف i والعمود j.

رموز العناصر
A = [a_{ij}] \quad \text{where } 1 \le i \le m,; 1 \le j \le n
04 / 13
LA 101
M02 · L01
النظرة 1

الأعمدة كـ vectors

كل matrix هي مجموعة column vectors متصفّفة جنب بعض. الـ matrix اللي 3×2 فيها اتنين column vectors، كل واحد فيه تلات مركّبات. والنظرة دي أساسية عشان تفهم ضرب الـ matrix في vector.

نظرة الأعمدة
A = \begin{bmatrix} \mid & \mid \\ \mathbf{c}_1 & \mathbf{c}_2 \\ \mid & \mid \end{bmatrix}
05 / 13
LA 101
M02 · L01
النظرة 2

الصفوف كـ vectors

اقلب النظرة: الـ matrix كمان رزمة row vectors. كل صف بيمثّل معادلة واحدة، أو نقطة بيانات، أو قيد. والصفوف والأعمدة بيدّوك نظرتين متكاملتين لنفس البيانات.

نظرة الأعمدة
الـ transformation
نظرة الصفوف
القيود
06 / 13
LA 101
M02 · L01
matrices ليها أسامي

الـ identity matrix

الـ identity matrix I (مصفوفة الوحدة) فيها 1 على القطر و0 في أي حتة تانية. هي الـ matrix اللي “مبتعملش حاجة”: اضرب أي matrix في I ومش هيتغيّر حاجة. هي اللي بتقابل الضرب في 1 في دنيا الـ matrices.

identity matrix مقاسها 3×3
I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
07 / 13
LA 101
M02 · L01
matrices ليها أسامي

الـ zero والـ diagonal

الـ zero matrix كل عناصرها أصفار — هي اللي بتقابل الرقم صفر في دنيا الـ matrices. والـ diagonal matrix (المصفوفة القطرية) فيها عناصر مش صفر على القطر الرئيسي بس. الـ diagonal matrices بسيطة بس قوية: بتكبّر كل إحداثي لوحده.

  • الـ zero: A + 0 = A
  • الـ diagonal: بتكبّر كل محور
  • الـ identity: diagonal خاصة (كلها 1)
08 / 13
LA 101
M02 · L01
matrices ليها أسامي

الـ matrices الـ symmetric

الـ matrix تبقى symmetric (متماثلة) لو بتساوي الـ transpose بتاعها: A = AT. العنصر اللي في الصف i والعمود j بيساوي العنصر اللي في الصف j والعمود i. والـ symmetric matrices بتظهر في كل حتة: جداول المسافات، والـ covariance matrices، والـ graphs.

شرط التماثل
A = A^T ;\Longleftrightarrow; a_{ij} = a_{ji} ;\forall\, i,j
09 / 13
LA 101
M02 · L01
عملية

الـ transpose

الـ transpose (المنقولة) بتاع الـ matrix AT بيقلب الـ matrix حوالين القطر بتاعها: الصفوف تبقى أعمدة والأعمدة تبقى صفوف. الـ matrix اللي m×n تبقى n×m. كأنك بتلفّ الجدول 90° وتعكسه.

الـ transpose
\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}
10 / 13
LA 101
M02 · L01
الدنيا الحقيقية

الـ matrices في كل حتة

كل صورة ديجيتال هي matrix من قيم الـ pixels. وكل layer في neural network هي عملية ضرب matrices. وكل شيت بيانات هو matrix. أول ما تشوفها، مش هتعرف تتجاهلها تاني.

  • الصور: جداول pixels (ارتفاع × عرض)
  • الـ machine learning: matrices الـ weights
  • الجرافيكس: matrices الـ transformations
  • الفيزيا: الـ stress tensor، والقصور الذاتي
  • البيانات: الصفوف = samples، والأعمدة = features
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
M02 · L01
الجاي

اللي جاي: عمليات الـ matrices

دلوقتي بعد ما عرفنا الـ matrix إيه، هنتعلّم نقدر نعمل بيها إيه — الجمع، والضرب في scalar، وضرب الـ matrix في vector اللي هو أهم حاجة فيهم.

الدرس الجاي
← عمليات الـ matrices
كل الدروس اقرا المقالة
13 / 13