LA 101
M01 · L03
مقدمة

التفسير الهندسي

الأرقام بتصحى لما ترسمها. الـ vectors (المتجهات) بتبقى أسهم، والـ matrices (المصفوفات) بتبقى transformations، والمعادلات بتبقى صور. يلا نشوف الـ linear algebra من عدسة الهندسة.

01 / 13
LA 101
M01 · L03
الفكرة الأساسية

الـ vectors كأسهم

الـ vector هو سهم ليه طول (مقدار) واتجاه. الـ vector (3, 2) معناه: امشي 3 يمين و2 لفوق. وأي سهمين ليهم نفس الطول ونفس الاتجاه هما نفس الـ vector، مهما كانت نقطة البداية.

بيشيل
الاتجاه
وبيشيل
المقدار
02 / 13
LA 101
M01 · L03
الإطار

أنظمة الإحداثيات

محاور متعامدة بتتقابل عند نقطة الأصل. في الـ 2D: x وy. في الـ 3D: زوّد z للعمق. ومركّبات الـ vector هي إحداثيات راسه لما ديله يبقى عند نقطة الأصل. الأرقام بتبقى صور، والصور بتبقى أرقام.

2D
x, y
3D
x, y, z
03 / 13
LA 101
M01 · L03
العمليات

جمع الـ vectors

الراس على الديل: حط السهم التاني عند راس الأول. والمجموع هو السهم من البداية للنهاية. أو استخدم قاعدة متوازي الأضلاع: نفس البداية، كمّل متوازي الأضلاع، والقُطر هو المجموع.

الملاحظة الأساسية
a + b = b + a — متوازي الأضلاع متماثل، فجمع الـ vectors commutative (تبديلي).
04 / 13
LA 101
M01 · L03
العمليات

الضرب في scalar

اضرب في 2: السهم يتضاعف. في ½: يبقى نصّه. في −1: اتجاهه يتقلب. الضرب في scalar بيزحلق الـ vector على الخط بتاعه، فيمطّه أو يصغّره أو يقلبه.

  • c > 1 — بيمطّ الـ vector
  • 0 < c < 1 — بيصغّر الـ vector
  • c = −1 — بيقلب الاتجاه
  • c = 0 — بيلمّه في نقطة الأصل
05 / 13
LA 101
M01 · L03
القياس

المقدار والطول

السهم طوله قد إيه؟ الـ Euclidean norm (المعيار الإقليدي) هو مجرد تعميم لنظرية فيثاغورس. المركّبات هي ضلوع مثلث قايم؛ والمقدار هو الوتر.

الـ Euclidean norm
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2}
06 / 13
LA 101
M01 · L03
اتجاه صافي

الـ unit vectors

vector مقداره واحد بالظبط. اقسم أي vector على طوله عشان تعمله normalization (تطبيع). النتيجة بتحتفظ بالاتجاه وبترمي الحجم.

الـ normalization
\hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}
07 / 13
LA 101
M01 · L03
المحاذاة

هندسة الـ dot product

الـ dot product (الجداء النقطي) بيقيس اتنين vectors ماشيين مع بعض قد إيه. بيساوي حاصل ضرب المقدارين في جيب تمام الزاوية. متعامدين؟ صفر. نفس الاتجاه؟ أكبر قيمة.

القانون الهندسي
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\cos\theta
08 / 13
LA 101
M01 · L03
في الـ 3D بس

هندسة الـ cross product

الـ cross product (الجداء المتقاطع) بين اتنين vectors بيبقى عمودي على الاتنين. ومقداره بيساوي مساحة متوازي الأضلاع اللي بيعملوه. واتجاهه ماشي على قاعدة اليد اليمين.

الاتجاه
عمودي
المقدار
المساحة
09 / 13
LA 101
M01 · L03
الفضاء اللي تقدر توصله

الـ linear combinations والـ span

كبّر الـ vectors واجمعها: ده اسمه linear combination (توليف خطي). ومجموعة كل الـ combinations دي هي الـ span (المدى) — الفضاء اللي تقدر توصله.

  • اتنين vectors مش متوازيين في الـ 2D بيغطّوا المستوى كله
  • الـ vectors المتوازية بتغطّي خط بس
  • 3 vectors مش في مستوى واحد في الـ 3D بيغطّوا الفضاء كله
10 / 13
LA 101
M01 · L03
الـ matrices كهندسة

نتخيّل الـ transformations

الـ matrix عملية هندسية: دوران، انعكاس، تكبير، shear. الأعمدة بتقولك الـ basis vectors بتنزل فين. والفكرة الواحدة دي بتخلّيك تشوف أي matrix.

الدوران في 2D
R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
الخلاصة
ملخص

اتعلّمت إيه

الـ vectors أسهم. والجمع ماشي على قاعدة متوازي الأضلاع. الـ dot product بيقيس المحاذاة؛ والـ cross product بيدّي التعامد والمساحة. الـ span هو الفضاء اللي تقدر توصله. والـ matrices هي transformations هندسية. وده بالظبط تفكير المهندسين.

الدرس الجاي
← الـ vector spaces والـ subspaces
كل الدروس اقرا المقالة
13 / 13