LA 101
M01 · L01
مقدمة

يعني إيه الـ linear algebra؟

رياضيات الفضاء والتحويل. الـ linear algebra (الجبر الخطي) بيدّينا اللغة اللي نوصف بيها المكان والاتجاه والتغيّر — المحرك المستخبّي ورا الجرافيكس والـ AI والهندسة الحديثة.

01 / 13
LA 101
M01 · L01
الأساس

لغة الفضاء

الـ vectors (المتجهات) بتوصف المكان والاتجاه والمقدار. هي الطوب الأساسي للـ linear algebra — أسهم بتشاور على مكان في الفضاء وليها طول معيّن. وأي كمية فيزيائية، من القوة للسرعة، تقدر تمثّلها كـ vector.

بيوصف
الاتجاه
و
المقدار
02 / 13
LA 101
M01 · L01
فكرة أساسية

الـ vectors

الـ vector هو قايمة أرقام مترتبة — إحداثيات بتحدد مكان أو بتوصف اتجاه. في بُعدين، الـ vector ليه مركّبتين: x وy.

طريقة كتابة الـ vector
\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
03 / 13
LA 101
M01 · L01
العمليات

جمع الـ vectors

اجمع القوى والسرعات والاتجاهات بإنك تجمع الـ vectors مركّبة بمركّبة. وقاعدة الراس على الديل بتدّيك صورة هندسية حلوة.

قاعدة الراس على الديل
حط ديل الـ vector التاني عند راس الأول. الـ vector المحصّل بيبدأ من أول الأول وبيخلص عند آخر التاني.
04 / 13
LA 101
M01 · L01
فكرة أساسية

الـ matrices

جداول أرقام بتحوّل الفضاء. الـ matrix (المصفوفة) بتاخد vectors وتطلّع vectors جديدة — بتمطّ الفضاء كله، أو بتلفّه، أو بتعكسه.

matrix مقاسها 2×2
A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
05 / 13
LA 101
M01 · L01
الهندسة

الـ transformations

الـ matrices بتشيل جواها عمليات هندسية. وكل transformation (تحويل) بيسيب خطوط الشبكة متوازية والمسافات بينها متساوية.

  • الدوران — بتلفّ الفضاء حوالين نقطة الأصل
  • التكبير والتصغير — بتمطّ أو بتضغط على طول المحاور
  • الانعكاس — مراية حوالين خط
  • الـ shear (القص) — بتميّل الفضاء في اتجاه واحد
06 / 13
LA 101
M01 · L01
السؤال الكبير

المسألة المركزية

عندك matrix اسمها A ونتيجة اسمها b، دوّر على الـ vector x. المعادلة الواحدة دي — حل أنظمة المعادلات — هي القلب اللي بيدق في الـ linear algebra.

المعادلة الأساسية
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
07 / 13
LA 101
M01 · L01
التاريخ

تاريخ سريع

الـ linear algebra اتطوّر على مدار قرون، على إيد رياضيين كانوا عايزين يحلّوا أنظمة معادلات ويفهموا الهندسة.

1693 — لايبنتز بيقدّم المحددات عشان يحل الأنظمة الخطية
1750 — كرامر بينشر القاعدة بتاعته لحل المعادلات
1844 — جراسمان بيخترع جبر فضاءات المتجهات
1855 — كايلي بيحط جبر المصفوفات في شكل رسمي
08 / 13
LA 101
M01 · L01
تطبيق

الجرافيكس الـ 3D

كل frame في كل لعبة بيستخدم transformations بالـ matrices. إنك تلفّ شخصية، أو تسقط مشهد 3D على شاشتك اللي هي 2D، والإضاءة والضل — ده كله linear algebra بيتحسب مليارات المرات في الثانية على الـ GPU بتاعك.

ورا الكواليس
Model → World → Camera → Screen: كل خطوة هي ضرب matrices
09 / 13
LA 101
M01 · L01
تطبيق

خوارزمية PageRank

الـ linear algebra بيرتّب كل صفحة على النت. خوارزمية PageRank بتاعة Google بتمثّل الويب كـ matrix عملاقة من اللينكات، وبتطلّع الـ dominant eigenvector (المتجه الذاتي المسيطر) — يعني الأهمية المستقرة لكل صفحة.

الفكرة الأساسية
الصفحة تبقى مهمة لو صفحات مهمة بتحط لينك ليها — تعريف بيرجع على نفسه، والـ linear algebra هو اللي بيحلّه
10 / 13
LA 101
M01 · L01
التأثير

الـ linear algebra في كل حتة

الـ linear algebra هو اللغة العالمية للرياضيات التطبيقية. بيظهر في أي حتة فيها بيانات أو فضاء أو أنظمة بتتفاعل مع بعض.

  • الجرافيكس — الـ rendering والـ animation والـ shaders
  • الـ machine learning — الـ neural networks هي عمليات matrices
  • الفيزياء — ميكانيكا الكم عايشة جوا فضاءات المتجهات
  • الهندسة — تحليل الدواير والنمذجة الإنشائية
  • علم البيانات — PCA والـ regression (الانحدار) وتقليل الأبعاد
11 / 13
LA 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

تلات أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

12 / 13
LA 101
الخلاصة
ملخص

اتعلّمت إيه

الـ vectors بتوصف الفضاء. والـ matrices بتحوّله. والمعادلة Ax = b بتربطهم ببعض. من المحددات القديمة لحد الـ AI الحديث — الـ linear algebra هو الرياضة اللي مشغّلة كل ده.

الدرس الجاي
الـ vectors وفضاءات المتجهات ←
كل الدروس اقرا المقالة
13 / 13