DSP 101
M9 · L4
الوحدة 9 — الـ spectral analysis
الـ parametric spectral estimation
أبعد من حد الـ DFT — إنك تعمل fit لـ models الـ signal عشان توصل لتقديرات طيفية super-resolution.
1 / 9
DSP 101
M9 · L4
المشكلة
ليه الـ non-parametric بيفشل؟
الـ periodogram وطريقة Welch محدودين بـ 1/(NT) — مهما كانت المعالجة، متقدرش تفصل بين frequencyين أقرب من كده.
- سجلات قصيرة: N صغيرة → frequency resolution ضعيفة
- نغمات قريبة من بعض: بتندمج في قمة عريضة واحدة في الـ DFT
- الفكرة الـ parametric: اعمل fit لـ model (AR، subspace) ← اشتق الـ spectrum تحليليًا
- الـ model بيفرض بنية ← ممكن تطلّع تقديرات super-resolution
- المقايضة: الـ super-resolution على حساب افتراضات الـ model
2 / 9
DSP 101
M9 · L4
الـ model الأساسي
الـ autoregressive model AR(p)
كل sample = تركيبة خطية من p sample فاتوا + white noise. بيكافئ filter فيه poles بس متغذّي بـ white noise.
AR(p)
x[n] = -\sum_{k=1}^{p} a_k\, x[n-k] + w[n]
الـ AR spectrum
P_AR(ω) = σ²/|A(ω)|² — قمم قريبة من poles الـ filter. والـ resolution محدودة بدرجة الـ model والـ SNR، مش بطول البيانات.
3 / 9
DSP 101
M9 · L4
الـ fit بتاع الـ model
Yule-Walker وBurg
Yule-Walker: بيربط معاملات الـ AR بالـ autocorrelation sequence. بيحل 𝐑𝐚 = −𝐫 بخوارزمية Levinson-Durbin O(p²).
- Yule-Walker: بيستخدم الـ sample autocorrelation — بسيط ومعياري
- طريقة Burg: بتصغّر غلطات الـ prediction لقدّام ولورا — أحسن للسجلات القصيرة، ومستقرة دايمًا
- درجة الـ model p: بتتختار بمعايير AIC أو MDL أو FPE
- الـ AIC بيبالغ في التقدير؛ والـ MDL consistent asymptotically
- قاعدة: p ≈ ضعف عدد القمم الطيفية المتوقعة
4 / 9
DSP 101
M9 · L4
طرق high-resolution
MUSIC وESPRIT
فكّك الـ covariance matrix لـ signal subspace (M eigenvalues كبيرة) + noise subspace (N−M قيمة بتساوي σ²).
- الفكرة الجوهرية: الـ steering vectors عند الـ frequencies الحقيقية عمودية على الـ noise subspace
- الـ pseudo-spectrum بتاع MUSIC: 1/‖𝐄ₙᴴ𝐞(ω)‖² → ∞ عند الـ frequencies الحقيقية
- ESPRIT: بيستغل الـ shift invariance — بيطلّع الـ frequencies على طول بتحليل eigenvalues، من غير بحث طيفي
- الاتنين محتاجين M (عدد الـ sinusoids) كدخل مسبق
- الـ coherent signals (multipath) بتضعّف الأداء — والـ spatial smoothing بيعالج ده
5 / 9
DSP 101
M9 · L4
الـ pseudo-spectrum بتاع MUSIC
معادلة MUSIC
الـ P_MUSIC ليه قمم حادة عند frequencies الـ sinusoids الحقيقية — بيحدّد الـ frequencies مش مستويات القدرة.
MUSIC
P_{MUSIC}(\omega) = \dfrac{1}{\mathbf{e}^H(\omega)\,\mathbf{E}_N\mathbf{E}_N^H\,\mathbf{e}(\omega)}
التفسير
𝐄_N = الـ noise eigenvectors. عند ω = ωₖ، 𝐞ᴴ(ω)𝐄_N𝐄_Nᴴ𝐞(ω) → 0 فـ P_MUSIC → ∞. القمم بتحدّد الـ frequencies، مش مستويات القدرة.
6 / 9
DSP 101
M9 · L4
اختيار الأداة الصح
parametric قصاد non-parametric
AR/MUSIC
super-resolution، سجلات قصيرة، line spectra
Welch
عام، عريض النطاق، مش محتاج model
- parametric: الـ LPC للكلام، الـ DOA للرادار، الـ HRV الطبي، الرنين المغناطيسي
- non-parametric: تحليل الصوت، الفحص الطيفي الاستكشافي
- عدم مطابقة الـ model ← الـ parametric ممكن يفشل فشل كارثي
- لما تشك: ابدأ بالـ non-parametric، وروح للـ parametric لما تحتاج
7 / 9
DSP 101
M9 · L4
أهم النقط
اتعلّمت إيه
- الطرق الـ parametric بتعمل fit لـ model الأول وبعدين تحسب الـ spectrum — فتوصل لـ super-resolution أبعد من 1/(NT)
- AR(p): x[n] = −∑ aₖ x[n−k] + w[n]; الـ spectrum = σ²/|A(ω)|²
- Yule-Walker: حل 𝐑𝐚 = −𝐫 بـ Levinson-Durbin O(p²)؛ وBurg أحسن للسجلات القصيرة
- درجة الـ model عن طريق AIC (بيبالغ) أو MDL (consistent)
- MUSIC: قمم الـ pseudo-spectrum عند frequencies الـ sinusoids بسبب تعامد الـ noise subspace
- ESPRIT: تقدير مباشر للـ frequencies من الـ signal subspace — من غير بحث طيفي
- parametric للخطوط الطيفية والسجلات القصيرة؛ non-parametric للـ spectra العريضة/المجهولة
9 / 9
1 / 8
صامت