تلات طرق منهجية عشان ترجّع الـ sequence الزمنية من تمثيلها في الـ z-domain: الـ partial fractions (الكسور الجزئية)، والقسمة الطويلة، والـ contour integral (تكامل المنحنى المغلق).
التصميم بيتعمل في الـ z-domain. والتنفيذ بيحصل في الـ time domain. والتحويل العكسي هو الكوبري — بيرجّع h[n] من مواصفات الـ poles والـ zeros أو بيحل الـ difference equations.
فكّك X(z)/z لحدود من الدرجة الأولى. كل residue A_k = (z − p_k)X(z)/z عند z = p_k. والـ ROC بتحدّد الـ causality بتاعة كل حد.
نفس الـ pole بيدّي sequences مختلفة حسب الـ ROC اللي اخترتها.
اقسم البسط على المقام بقوى z⁻¹ بتزيد. كل معامل في الناتج هو sample زمنية على طول: معامل z⁻ⁿ بيساوي x[n].
التعريف الرسمي: x[n] = (1/2πj) ∮ X(z) zn−1 dz. وبنظرية الـ residues، بيساوي مجموع residues X(z)zn−1 عند الـ poles اللي جوه المنحنى C — نفس نتيجة الـ partial fractions.
H(z) = z²/(z² − 0.9z + 0.81) ليه poles عند 0.9e±jπ/3. والـ impulse response هو damped sinusoid: h[n] = (0.9)ncos(nπ/3) u[n].
- الـ ROC ضرورية — نفس صيغة X(z) بتدّي x[n] مختلفة
- الـ partial fractions: فكّك لحدود من الدرجة الأولى واقرا من الجدول
- القسمة الطويلة: معاملات الـ power series = samples زمنية على طول
- الـ contour integral: التعريف الرسمي = مجموع الـ residues = الـ partial fractions
- poles conjugate عند (r, ±θ) ← rⁿcos(nθ + φ)u[n]
- |z| > |p| ← causal؛ |z| < |p| ← non-causal