DSP 101
M5 · L1
الوحدة 5 — الـ discrete Fourier transform
من الـ time domain للـ frequency domain
منشور إزاز على ترابيزة غامقة بيرمي مروحة عريضة من شرايط بألوان قوس قزح.
المنشور بيفكّك النور الأبيض لألوانه، يعني للـ frequencies بتاعته. وتحليل فورييه بيعمل نفس الحاجة مع الـ signal: بيكشف الـ sinusoids اللي بتتجمع عشان تكوّنها.

ليه كل signal (إشارة) مجموع sinusoids — وإزاي الـ DTFT والـ DFT بيكشفوا محتوى الـ frequency في الـ signals في الزمن المتقطع.

1 / 9
DSP 101
M5 · L1
الدافع
كل signal مجموع sinusoids

فكرة فورييه: أي signal ممكن تتكتب كمجموع موزون من الـ sinusoids (الجيبيات). والـ frequency domain (نطاق التردد) بيكشف التفكيك ده فبيخلّي تصميم الـ filters وتحليل الـ noise طبيعي وبديهي.

الميزة الأساسية
الـ convolution في الزمن = الضرب في الـ frequency. الـ filtering بيبقى ضرب نقطة بنقطة.
2 / 9
DSP 101
M5 · L1
DTFT
الـ discrete-time Fourier transform

الـ DTFT بيحسب تحويل Z على دايرة الوحدة z = ejω. والنتيجة: دالة مستمرة ودورية بدورة 2π في الـ frequency المتطبّعة ω (راديان/sample).

DTFT
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}
3 / 9
DSP 101
M5 · L1
مقياس الـ frequency
الـ frequency المتطبّعة

الـ frequency ω بتتقاس بالراديان لكل sample. وعشان تحوّل لهرتز اضرب في fs/(2π).

ω = 0
DC
ω = π
نايكويست fs/2
التحويل
ω = 2πf / fs — فـ f = 10 كيلوهرتز عند fs = 48 كيلوهرتز بتدّي ω ≈ 1.31 راديان/sample
4 / 9
DSP 101
M5 · L1
خصائص الـ DTFT
أربع خصائص أساسية
  • الـ linearity — DTFT{ax + by} = aX + bY
  • الـ time shift — تأخير n₀ sample ← ضرب في e−jωn₀
  • الـ convolution ↔ الضرب — x∗h ↔ X·H
  • الـ conjugate symmetry — x[n] حقيقي → |X(ejω)| زوجي
الأهم
ثنائية الـ convolution والضرب: الـ LTI filtering بيبقى ضرب طيفي نقطة بنقطة.
5 / 9
DSP 101
M5 · L1
المشكلة
الـ DTFT مستمر — مبيتحسبش

X(ejω) بياخد عدد لانهائي من القيم. والماكينة الرقمية محتاجة تمثيل frequency محدود ومتقطع. الحل: sampling للـ DTFT عند N frequency على مسافات متساوية.

∞
قيم الـ DTFT
N
قيم الـ DFT
6 / 9
DSP 101
M5 · L1
DFT
الـ sampling للـ DTFT: الـ DFT

احسب الـ DTFT عند ωk = 2πk/N لـ k = 0 … N−1. والنتيجة: N رقم مركّب، بيتحسب وبيتعكس بالكامل.

DFT
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}
7 / 9
DSP 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

8 / 9
DSP 101
M5 · L1
أهم اللي اتعلّمته
اتعلّمت إيه
  • كل signal = مجموع sinusoids؛ والـ frequency domain بيكشف التفكيك
  • DTFT: x[n] ← X(ejω) مستمر ودوري بدورة 2π
  • ω = π بتقابل الـ Nyquist frequency fs/2
  • الـ convolution في الزمن = الضرب في الـ frequency
  • الـ DTFT مبيتحسبش — والـ sampling بتاعه عند N نقطة بيطلّع الـ DFT
  • الـ DFT دوري في الزمن (circular): بيعامل x[n] كدورة واحدة من N
اقرا المقالة كاملة ←
الدرس الجاي كل الدروس
9 / 9
1 / 8 كتم