DSP 101
M4 · L3
الوحدة 4 — تحويل Z
الـ poles والـ zeros والـ frequency response

أي filter rational هو مجموعة من الـ poles (الأقطاب) والـ zeros (الأصفار) في المستوى المركّب. ومكانهم بالنسبة لدايرة الوحدة بيحدّد الـ frequency response كله — الـ amplitude والـ phase والاستقرار — مرة واحدة.

1 / 9
DSP 101
M4 · L3
التعريف
الـ pole-zero plot

حلّل H(z) = g · ∏(z − z_k) / ∏(z − p_k). الـ zeros (دواير ○) حيث H = 0؛ والـ poles (علامات ×) حيث H → ∞.

○
zeros — notches
×
poles — resonance
g
ثابت الـ gain
2 / 9
DSP 101
M4 · L3
الـ frequency response
التقييم على دايرة الوحدة

عوّض z = ejω: الـ amplitude = حاصل ضرب مسافات الـ zeros مقسوم على حاصل ضرب مسافات الـ poles.

الصيغة الهندسية
|H(e^{j\omega})| = |g|\,\frac{\prod_k |e^{j\omega}-z_k|}{\prod_k |e^{j\omega}-p_k|}
3 / 9
DSP 101
M4 · L3
الحدس الهندسي
قواعد المسافات

لفّ ejω حوالين دايرة الوحدة. الـ amplitude |H| بتطلع وتنزل مع تغيّر المسافات من الـ poles والـ zeros.

pole قريب من الدايرة
مسافة المقام صغيرة → قمة amplitude (resonance)
zero على الدايرة
مسافة البسط = 0 → notch مثالية (|H| = 0)
pole على الدايرة (r = 1)
لا بيصغر ولا بيكبر → تذبذب مستمر. marginally stable: oscillator، عمره ما يبقى filter.
تفاعلي: اسحب الـ poles والـ zeros وشوف قمم |H| والـ notches بتاعتها — متولّد بالذكاء الاصطناعي، بالإنجليزي
4 / 9
DSP 101
M4 · L3
الـ phase response
مجموع الزوايا

∠H(ejω) = مجموع زوايا الـ zeros − مجموع زوايا الـ poles. الـ group delay = −d∠H/dω.

الـ linear phase
تصميمات FIR المتماثلة بتوصل لـ linear phase — كل الـ frequencies بتتأخر نفس القدر. والـ IIR filters اللي فيها poles عادةً مبتوصلش لكده.
5 / 9
DSP 101
M4 · L3
الـ filters الحقيقية
الأزواج الـ conjugate

لو h[n] حقيقية، الـ poles والـ zeros اللي بعيدة عن المحور الحقيقي دايمًا بتظهر في أزواج conjugate (p, p*).

الطوبة الأساسية
كل زوج poles conjugate → second-order section بمعاملات حقيقية. ودي وحدة التنفيذ المعيارية لـ IIR.
6 / 9
DSP 101
M4 · L3
مثال تصميم
notch عند 60 هرتز

حط الـ zeros على دايرة الوحدة عند ±ω₀ عشان تاخد notch مثالية. والـ poles عند نص القطر r بتتحكّم في الـ bandwidth.

الـ transfer function بتاعة الـ notch filter
H(z) = \frac{z^2 - 2\cos\omega_0\,z + 1}{z^2 - 2r\cos\omega_0\,z + r^2}
7 / 9
DSP 101
اختبار سريع

شوف إيه اللي ثبت

أربع أسئلة من الدرس ده. جاوب عشان تشوف السبب — الشرح بيظهر سواء جاوبت صح أو غلط. ونتيجتك مش بتتحفظ.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

8 / 9
DSP 101
M4 · L3
أهم النقط
اتعلّمت إيه
  • الـ poles (×) → resonance؛ الـ zeros (○) → notches في الـ frequency response
  • |H(ejω)| = حاصل ضرب مسافات الـ zeros ÷ حاصل ضرب مسافات الـ poles
  • pole قريب من دايرة الوحدة → قمة amplitude عند الزاوية دي
  • zero على دايرة الوحدة → |H| = 0 عند الزاوية دي
  • الـ phase = مجموع زوايا الـ zeros − مجموع زوايا الـ poles
  • الـ filters اللي معاملاتها حقيقية: poles وzeros في أزواج conjugate
  • الـ notch filter: zeros على الدايرة عند ω₀، وpoles جوّاها عشان تتحكّم في العرض
الدرس الجاي
طرق الـ inverse Z-transform: الـ partial fractions والقسمة الطويلة واسترجاع h[n].
اقرا المقالة كاملة ←
كل الدروس
9 / 9
1 / 8 كتم