خرج أي نظام LTI هو الـ convolution (الالتواء) بين دخله والـ impulse response (الاستجابة النبضية) بتاعه. والعملية الواحدة دي هي أساس كل filter، وكل equalizer، وكل channel model في الـ DSP.
لنظام LTI الـ impulse response بتاعه h[n] وبيدخل عليه x[n]، الخرج بيساوي مجموع نسخ متضروبة في أوزان ومتزحزحة من h[n] — نسخة لكل sample دخل.
خاصية الـ sifting بتفكّك أي signal لـ impulses متضروبة في أوزان. والـ linearity بتعدّي المجموع جوه T. والـ time invariance بتحوّل كل T{δ[n−k]} لـ h[n−k]. ومجموع الـ convolution هو النتيجة اللي مفيش منها مهرب.
عشان تحسب y[n] عند index خرج واحد: اقلب h عشان تاخد h[−k]، زحزحه بمقدار n عشان تاخد h[n−k]، اضربه في x[k] نقطة بنقطة، وبعدين اجمع كل النواتج.
- الـ commutativity: x*h = h*x — الترتيب مبيفرقش
- الـ associativity: (x*h₁)*h₂ = x*(h₁*h₂) — الـ filters المتسلسلة بتتدمج في filter واحد
- الـ distributivity: x*(h₁+h₂) = x*h₁ + x*h₂ — الـ filters المتوازية بتتجمع
الـ unit impulse هي العنصر المحايد للـ convolution: x[n] * δ[n] = x[n]. والـ impulse المتزحزحة δ[n−n₀] بتمثّل delay صافي.
signal بـ N sample * kernel بـ M sample → خرج بـ N+M−1 sample. complexity مباشرة: O(N·M). complexity بالـ FFT: O((N+M)log(N+M)).
FIR: impulse response محدود — مستقر دايمًا، convolution مباشر، وبيسمح بـ linear phase.
IIR: impulse response لانهائي — بيتنفّذ بالـ difference equations، معاملات أقل لانتقائية حادة، ومحتاج تتأكد من استقراره.
- y[n] = Σ x[k]·h[n−k] — مجموع الـ convolution لأي نظام LTI
- طالع من الـ sifting + الـ linearity + الـ time invariance
- الطريقة بالرسم: اقلب، زحزح، اضرب، اجمع
- الخصائص: commutative، associative، distributive
- δ[n] محايد الـ convolution؛ وδ[n−n₀] delay صافي
- طول الخرج = N + M − 1؛ والـ FFT بيسرّع الحساب
- FIR = h[n] محدود؛ IIR = h[n] لانهائي بالـ recursion