وأنظمة LTI
الـ impulse response (الاستجابة النبضية) h[n] هو البصمة الكاملة لأي نظام LTI. اعرف h[n] وهتقدر تتنبّأ بالخرج لأي دخل. الدرس ده بيتكلّم عن FIR وIIR والـ difference equations وإزاي الأنظمة بتتركّب.
دخّل δ[n] — الخرج هو h[n]. والقياس الواحد ده بيتنبّأ بالرد على أي دخل ممكن عن طريق الـ convolution.
h[n] مش صفر غير لـ M sample بس. والخرج هو مجموع موزون محدود من M دخلات فاتت/حالية — مفيش feedback.
h[n] بيمتد للانهاية — بيتنفّذ بـ difference equations recursive. معاملات أقل لقطع حاد في الـ frequency، بس لازم تتأكد من الاستقرار.
h[n] = αⁿu[n] — مستقر لما |α| < 1
كل filter رقمي هو LCCDE. والـ biquad (الـ second-order section) هو وحدة البناء المعيارية — وتصميمات IIR اللي درجتها أعلى عبارة عن سلسلة biquads.
نظامين LTI متسلسلين بيتصرّفوا كـ نظام واحد الـ impulse response المجمّع بتاعه h₁ * h₂. والترتيب ممكن يتبدّل — h₁ وبعده h₂ زي h₂ وبعده h₁.
- الـ filters المتسلسلة ممكن تتدمج مقدّمًا في kernel واحد
- commutative: بدّل الترتيب، نفس النتيجة
- التسلسل المستقر محتاج كل مرحلة تبقى مستقرة
نفس الدخل، والخرجات بتتجمع — النظام المجمّع عنده h[n] = h₁[n] + h₂[n]. بيتستخدم في الـ graphic equalizers والـ multiband processors والـ receivers بتوع OFDM.
- h[n] = T{δ[n]} — الـ impulse response بيميّز أي نظام LTI بالكامل
- FIR: h[n] محدودة، مستقر دايمًا، linear phase ممكن، مفيش feedback
- IIR: h[n] لانهائية بـ LCCDE recursive، معاملات أقل، افحص الاستقرار
- الـ biquad (درجة تانية) هو وحدة البناء المعيارية لـ IIR
- متسلسل: h المجمّعة = h₁ * h₂، والترتيب ممكن يتبدّل
- متوازي: h المجمّعة = h₁ + h₂
- IIR مستقر ⟺ Σ|h[n]| < ∞ ⟺ كل الـ poles جوه دايرة الوحدة