الـ systems
قبل ما تصمّم أي filter، محتاج مفردات مشتركة. خمس خصائص — الـ linearity (الخطية)، والـ time invariance (ثبات الزمن)، والـ causality (السببية)، والـ stability (الاستقرار)، والـ memory (الذاكرة) — بيحدّدوا سلوك أي discrete-time system.
الـ discrete-time system هو عملية T بتربط الدخل x[n] بالخرج y[n]. والقاعدة T ممكن تبقى difference equation، أو سلسلة filters، أو أي خوارزمية بتعالج الـ samples.
مبدأ الـ superposition (التراكب) بيتطبّق: الرد على مجموع دخلات متكبّرة بيساوي مجموع الردود المتكبّرة. وده بيفتح إطار الـ impulse response (الاستجابة النبضية) — اعرف الـ impulse response، تعرف كل حاجة.
لو زحزحت الدخل k sample الخرج بيتزحزح k sample — ومفيش حاجة تانية بتتغيّر. النظام مفيهوش ساعة جوّاه؛ بيتصرّف النهارده زي ما هيتصرّف بكرة.
الخرج عند n معتمد بس على الدخلات الحالية واللي فاتت. القيم الجاية مش متاحة في النظام الحقيقي اللي شغّال لحظيًا. والـ filters الـ non-causal بتشتغل offline عشان أداء أحسن.
دخل محدود ← خرج محدود. النظام المستقر عمره ما بيفرقع من دخل طاقته محدودة. ولنظام LTI، الاستقرار معناه إن مجموع القيم المطلقة للـ impulse response محدود.
الـ accumulator y[n]=Σx[k] مش مستقر. والـ filter y[n]=αy[n−1]+x[n] مع |α|<1 مستقر.
النظام ليه memory لو الـ samples اللي فاتت بتأثّر على الخرج. والأنظمة الـ memoryless متقدرش تعمل filtering. ونظام LTI بيتوصف كله بالـ impulse response بتاعه h[n]:
اعرف h[n] ← تعرف خرج النظام لأي دخل.
- الـ linearity: الـ superposition T{ax₁+bx₂} = aT{x₁}+bT{x₂}
- الـ time invariance: زحزحة الدخل ← زحزحة الخرج؛ مفيش ساعة جوّاه
- الـ causality: الخرج بيستخدم الحاضر والماضي بس؛ ضروري للشغل اللحظي
- الـ BIBO stability: الدخل المحدود ← الخرج المحدود دايمًا
- الـ memory: الـ samples اللي فاتت بتأثّر على الخرج الحالي
- LTI = linear + time-invariant → بيتوصف كله بـ h[n]