DSP 101
M5 · L1
الوحدة 5 — تحويل فورييه المتقطع
من نطاق الزمن إلى نطاق التردد
لماذا كل إشارة هي مجموع من الجيبيات — وكيف يكشف DTFT وDFT محتوى التردد في الإشارات الزمنية المتقطعة.
1 / 9
DSP 101
M5 · L1
الدافع
كل إشارة مجموع جيبيات
بصيرة فورييه: يمكن التعبير عن أي إشارة كمجموع موزون من الجيبيات. نطاق التردد يكشف هذا التحليل مما يجعل تصميم المرشحات وتحليل الضوضاء طبيعيين وبديهيين.
الميزة الأساسية
الالتواء في الزمن = الضرب في التردد. الترشيح يصبح ضربًا نقطيًا.
2 / 9
DSP 101
M5 · L1
DTFT
تحويل فورييه للزمن المتقطع
DTFT يُقيّم تحويل Z على دائرة الوحدة z = ejω. النتيجة: دالة مستمرة ودورية بدورة 2π للتردد المعيّر ω (راديان/عينة).
DTFT
X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}
3 / 9
DSP 101
M5 · L1
مقياس التردد
التردد المعيَّر
التردد ω يُقاس بالراديان لكل عينة. للتحويل إلى هرتز اضرب في fs/(2π).
ω = 0
تيار مستمر (DC)
ω = π
نايكويست fs/2
التحويل
ω = 2πf / fs — فـ f = 10 كيلوهرتز عند fs = 48 كيلوهرتز تعطي ω ≈ 1.31 راديان/عينة
4 / 9
DSP 101
M5 · L1
خصائص DTFT
أربع خصائص أساسية
- الخطية — DTFT{ax + by} = aX + bY
- الإزاحة الزمنية — تأخير n₀ عينة ← ضرب بـ e−jωn₀
- الالتواء ↔ الضرب — x∗h ↔ X·H
- التناظر المترافق — x[n] حقيقي → |X(ejω)| زوجي
الأهم
ثنائية الالتواء-الضرب: ترشيح LTI يصبح ضربًا طيفيًا نقطيًا.
5 / 9
DSP 101
M5 · L1
المشكلة
DTFT مستمر — غير قابل للحساب
X(ejω) يأخذ قيمًا لا نهاية لها. تحتاج الآلة الرقمية إلى تمثيل تردد منتهٍ ومتقطع. الحل: أخذ عينات من DTFT عند N تردد متساوي التباعد.
∞
قيم DTFT
N
قيم DFT
6 / 9
DSP 101
M5 · L1
DFT
أخذ عينات من DTFT: تحويل DFT
قيّم DTFT عند ωk = 2πk/N لـ k = 0 … N−1. النتيجة: N عدد مركب، قابل للحساب والعكس الكامل.
DFT
X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\,e^{-j2\pi kn/N}
7 / 9
DSP 101
M5 · L1
أبرز ما تعلمته
ماذا تعلمت
- كل إشارة = مجموع جيبيات؛ نطاق التردد يكشف التحليل
- DTFT: x[n] ← X(ejω) مستمر ودوري بدورة 2π
- ω = π يقابل تردد نايكويست fs/2
- الالتواء في الزمن = الضرب في التردد
- DTFT غير قابل للحساب — أخذ عيناته عند N نقطة ينتج DFT
- DFT دوري في الزمن (دائري): يعامل x[n] كدورة واحدة من N
9 / 9
1 / 8
كتم