وتفسيره
معادلة DFT، وخانات التردد، وDFT بوصفه عملية مصفوفية، والطابع الدوري الذي يستلزم إضافة الأصفار وترشيح overlap-add.
N عينة زمنية تدخل. N قيمة ترددية مركبة X[k] تخرج. كل خانة تحمل سعة ومرحلة التردد المقابل لها.
مثالية
يستعيد IDFT x[n] بدقة تامة. الفارق الوحيد: إشارة الأس تنعكس إلى +j ويظهر عامل تطبيع 1/N.
الخانة k ← التردد f = k · fs/N هرتز. تباعد الخانات Δf = fs/N — أما الدقة فيحددها طول التسجيل لا N.
X = WN x — DFT هو تغيير أساس. كل صف في WN جيب تمام مركب. الحساب المباشر: O(N²). FFT يستغل التماثل ليصل إلى O(N log N).
يعامل DFT x[n] على أنه دوري بفترة N. الحساب بالتقسيم على N. نتيجة لذلك: ضرب الأطياف يعطي التواء دائري لا خطي.
لا حدة
إضافة الأصفار تستكمل الطيف فيبدو أكثر نعومة. لكن الدقة الفعلية تستلزم مزيداً من البيانات، لا مزيداً من الأصفار. لتمييز تردديْن يفصل بينهما Δf هرتز تحتاج T ≥ 1/Δf ثانية.
- أصفار أكثر ← أخذ عينات أدق من DTFT ← منحنى أكثر نعومة
- عينات أكثر ← معلومات ترددية حقيقية إضافية
- جيبيتان تفصلهما Δf هرتز تتطلبان T ≥ 1/Δf ثانية من البيانات
- DFT: X[k] = Σ x[n] e−j2πkn/N؛ IDFT له +j وعامل 1/N
- الخانة k ↔ تردد k·f_s/N هرتز؛ تباعد الخانات Δf = f_s/N
- |X[k]| سعة، ∠X[k] مرحلة؛ الإشارات الحقيقية لها تماثل مرافق
- DFT = ضرب مصفوفي X = WNx؛ O(N²) مباشرة، O(N log N) بـ FFT
- DFT دوري — الحساب بالتقسيم على N دائماً
- ضرب الأطياف ← التواء دائري؛ أضف أصفاراً للتواء خطي
- إضافة الأصفار تنعّم الطيف لكن لا تحسّن الدقة الفعلية