STAT 101
M07 · L01
الوحدة 7 · الدرس 1

الـ linear regression البسيط

خط واحد، وcoefficientين، وأكتر predictive model بيستخدم في الإحصاء — بنرسم خط مستقيم وسط البيانات عشان نوصف variable بيأثر في التاني إزاي. ده الـ simple linear regression (الانحدار الخطي البسيط).

01 / 12
STAT 101
M07 · L01
المعادلة

الـ model

الـ simple linear regression
Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon
  • β₀ — الـ intercept (Y لما X = 0)
  • β₁ — الـ slope (تغيّر Y لكل وحدة من X)
  • ε — خطأ عشوائي (noise مفيش منه مهرب)
02 / 12
STAT 101
M07 · L01
بنقلّل إيه؟

الـ least squares

مجموع مربعات الـ residuals
\text{SSR} = \sum_{i=1}^{n}(y_i - \hat{y}_i)^2

الـ residual (البقية) هو المسافة الرأسية بين النقطة اللي اتشافت والخط المتظبّط: eᵢ = yᵢ − ŷᵢ. وطريقة الـ ordinary least squares (OLS) بتلاقي الخط اللي بيقلّل مجموع المربعات.

تفاعلي: اسحب النقط وشوف المربعات اللي بتتقلّل — معمول بالذكاء الاصطناعي، بالإنجليزي
03 / 12
STAT 101
M07 · L01
الحل التحليلي

الـ estimators بتوع OLS

الـ slope
\hat{\beta}_1 = \dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum(x_i-\bar{x})^2}
الـ intercept
\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1\bar{x}
04 / 12
STAT 101
M07 · L01
كل واحد معناه إيه؟

قراية الـ coefficients

مثال: أسعار البيوت
السعر = 50,000 + 120 × المساحة

β₀ = 50 ألف$: التكلفة الأساسية
β₁ = 120$ لكل قدم مربع: قيمة المساحة

الـ intercept ليه معنى بس لو X = 0 جوه مدى البيانات. أما الـ slope فينفع يتفسّر دايمًا.

05 / 12
STAT 101
M07 · L01
جودة الـ fit

R² — التغيّر المتفسّر

الـ coefficient of determination
R^2 = 1 - \dfrac{\text{SSR}}{\text{SST}}
R² = 0
الخط مالوش لازمة
R² = 1
fit مثالي
06 / 12
STAT 101
M07 · L01
الافتراضات متحققة؟

تحليل الـ residuals

  • الخطية — مفيش نمط في الـ residuals قصاد X
  • الـ normality — الـ residuals تقريبًا على شكل جرس (QQ plot)
  • الـ homoscedasticity — الـ variance ثابت على قيم X
  • الاستقلالية — مفيش autocorrelation في الـ residuals
07 / 12
STAT 101
M07 · L01
الـ variance الثابت

الـ homoscedasticity

الافتراض
Var(ε | X = x) = σ² لكل قيم x

الكسر = heteroscedasticity: انتشار الـ residuals بيوسع أو بيضيق مع X. والـ standard errors بتبقى مش موثوقة.

اكشفه برسم الـ residuals قصاد الـ fitted values. وعالجه بـ log transformations أو robust standard errors.

08 / 12
STAT 101
M07 · L01
نوعين من عدم اليقين

التنبؤ قصاد الثقة

الـ confidence interval
الـ mean بتاع Y
الـ prediction interval
قيمة Y واحدة

الـ confidence interval بتحصر الـ mean response الحقيقي عند X = x*. والـ prediction interval بتحصر مشاهدة جديدة — ودايمًا أوسع لأنها بتزوّد الـ variance بتاع ε اللي مفيش منه مهرب.

09 / 12
STAT 101
M07 · L01
اختبار الـ slope

significance الـ slope

إحصاءة t لـ β₁
t = \dfrac{\hat{\beta}_1}{\text{SE}(\hat{\beta}_1)}

H₀: β₁ = 0 (مفيش تأثير خطي لـ X). بنرفضها لو |t| > t_{α/2}(n−2). والـ slope الـ significant معناه إن X predictor خطي مفيد لـ Y.

10 / 12
STAT 101
الانحدار الخطي البسيط

شوف إيه اللي ثبت

4 أسئلة سريعة عن ملاءمة الخط المستقيم وقرايته.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

11 / 12
STAT 101
الخلاصة
مراجعة

اتعلّمت إيه

  • الـ model: Y = β₀ + β₁X + ε — خط ومعاه noise
  • الـ OLS بيقلّل ∑(yᵢ − ŷᵢ)² عشان يجيب β̂₀ وβ̂₁
  • β₁ = الـ slope: تغيّر Y لكل وحدة من X
  • الـ R² بيقيس نسبة تغيّر Y اللي X بيفسّرها
  • افحص الـ residuals: الخطية، والـ normality، والـ homoscedasticity
  • الـ prediction intervals أوسع من الـ confidence intervals — بتزوّد noise الـ ε
  • الـ t-test على β₁ بيحدّد هل X predictor مفيد
الجاي
الوحدة 7، الدرس 2 ← الـ multiple regression
كل الدروس اقرا المقالة
12 / 12