الـ probability الشرطية
لما نعرف حاجة عن الدنيا، الاحتمال بيتغيّر. الـ conditional probability (الاحتمال الشرطي) هي رياضيات جملة «بافتراض إن...»
يعني إيه P(A | B)؟
لما نعرف إن B حصل، دنيتنا بتضيق للنتايج اللي جوه B. الـ conditional probability لـ A بشرط B هي النسبة اللي A واخداها جوه B.
المعادلة
اقسم احتمال إن الحدثين يحصلوا مع بعض على احتمال الحدث اللي هو الشرط. بشرط P(B) > 0.
الـ multiplication rule
اضرب طرفين التعريف عشان تجيب احتمال إن الحدثين يحصلوا مع بعض كحاصل ضرب احتمال شرطي في marginal. ودي الـ multiplication rule (قاعدة الضرب).
الـ independence الإحصائية
A وB مستقلين لما معرفة B متدّيش أي معلومة عن A. الشرط مش بيغيّر حاجة. ودي الـ independence (الاستقلالية).
المستقل ≠ المتنافي
- متنافيين: A ∩ B = ∅ — مش بيحصلوا مع بعض
- مستقلين: حصول واحد مش بيقول حاجة عن التاني
- لو متنافيين وP(A),P(B) > 0 يبقوا مش مستقلين
- معرفة إن A حصل بتقولك إن B محصلش
قانون الـ total probability
قسّم Ω لحالات متنافية وشاملة B₁…Bₙ. يبقى P(A) متوسط موزون للاحتمالات الشرطية. ده قانون الـ total probability (الاحتمال الكلي).
نظرية Bayes
بتحوّل الـ likelihood P(B|A) لـ posterior P(A|B). prior × likelihood ÷ evidence. ودي نظرية Bayes (نظرية بايز).
الـ tree diagrams
- كل فرع = حدث واحد، مكتوب عليه احتماله
- على المسار: اضرب الاحتمالات
- بين المسارات: اجمع الاحتمالات
- الشجرة كلها بتطبّق الـ multiplication rule في كل خطوة
الـ total probability في التطبيق
المصنع الأول: 60% من الإنتاج، 2% بايظة. المصنع التاني: 40%، 5% بايظة. نسبة البايظ الإجمالية كام؟ نرمز بـ D للحدث «القطعة بايظة».
P(A|B) ≠ P(B|A)
- P(+ | D) = الـ sensitivity (الحساسية) (عادةً عالية)، وD هنا إن الشخص عنده المرض و+ نتيجة إيجابية
- P(D | +) = احتمال المرض للي نتيجته إيجابية: معتمد على انتشار المرض
- مغالطة المدعي: P(E | I) ≠ P(I | E)، وE هنا ظهور الدليل وI براءة المتهم
- نظرية Bayes هي الطريقة الوحيدة الآمنة لعكس الشرط
اتعلّمنا إيه
الـ conditional probability، والـ multiplication rule، والـ independence، وقانون الـ total probability، ونظرية Bayes، والـ tree diagrams، وليه P(A|B) ≠ P(B|A) — محرك الاستدلال الإحصائي.