DSP 101
M9 · L1
الوحدة 9 — الـ spectral analysis
الـ power spectral density
الأداة الأساسية لتوصيف الـ signals العشوائية — بتوصف القدرة متوزّعة إزاي على الـ frequencies.
1 / 9
DSP 101
M9 · L1
الفكرة الجوهرية
القدرة قصاد الـ frequency
الـ signals العشوائية ملهاش DFT واحد — بتبان مختلفة كل مرة. والـ PSD بتلقط متوسط القدرة عند كل frequency على كل الـ realizations.
- الـ DFT بيدّي الـ amplitude والـ phase للـ signals الثابتة (deterministic)
- الـ PSD بتدّي توزيع القدرة المتوسط للـ signals العشوائية
- دايمًا قيمها حقيقية ومش سالبة
- الوحدات: واط/هرتز أو V²/هرتز (أو dBm/Hz عمليًا)
2 / 9
DSP 101
M9 · L1
نظرية وينر-خينتشين
الـ PSD = الـ DTFT للـ autocorrelation
الـ power spectral density (كثافة الطيف الطاقي) هي تحويل فورييه للـ autocorrelation — رابط عميق بين الـ correlation في الزمن والبنية الطيفية.
Wiener-Khinchin
S_{xx}(\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} R_{xx}[k]\, e^{-j\omega k}
الحدس
autocorrelation قصير → PSD عريضة ومفرودة. autocorrelation بيقل بالراحة → تركّز عند الـ frequencies الواطية
3 / 9
DSP 101
M9 · L1
علاقة القدرة
المساحة تحت الـ PSD = القدرة الكلية
تكامل الـ PSD على كل الـ frequencies بيدّي القدرة الكلية للـ signal.
R[0]
القدرة الكلية
∫S(ω)
تكامل الـ PSD
=
متساويين دايمًا
- مقياس dB: 10·log₁₀(S(f)) — بيبيّن المكوّنات القوية والضعيفة
- PSD مفرودة → white noise (قدرة متساوية عند كل frequency)
- PSD فيها قمة → colored noise أو signal نغمية
4 / 9
DSP 101
M9 · L1
اصطلاحين
أحادي الجانب قصاد ثنائي الجانب
الـ signals الحقيقية ليها PSD متماثلة (S(ω) = S(−ω))، فالاصطلاحين شايلين نفس المعلومات — بس القيم بتختلف.
- ثنائي الجانب: بيغطّي [−π, π] — المساحة = القدرة الكلية
- أحادي الجانب: بيغطّي [0, π] — القيم مضاعفة (G = 2S)
- الـ spectrum analyzers ودالة pwelch() بيرجّعوا أحادي الجانب افتراضيًا
- الـ signals المركّبة (I/Q) محتاجة PSD ثنائية الجانب
- فرق 3 dB لما تخلط بين الاصطلاحين!
5 / 9
DSP 101
M9 · L1
تقدير الـ PSD
الـ periodogram (الدورية)
أبسط تقدير للـ PSD من بيانات محدودة: مربّع magnitude الـ DFT مقسوم على N. بسيط بس فيه عيب أساسي.
Periodogram
\hat{S}(\omega) = \frac{1}{N}\left|\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\, e^{-j\omega n}\right|^2
نقطة الضعف الأساسية
الـ variance بيفضل ~100٪ مهما كان حجم البيانات. بيانات أكتر = frequency resolution أعلى، مش noise أقل
6 / 9
DSP 101
M9 · L1
الاستخدامات العملية
الـ PSD بتفرق فين
- أرضية الـ noise: الـ thermal noise عند −174 dBm/Hz عند 290 K
- كشف الـ signals: قمم طيفية فوق أرضية الـ noise
- القناة اللاسلكية: ملف الـ frequency-selective fading
- الصوتيات: resonances الأوض، harmonics الآلات
- الاهتزازات: resonance ميكانيكي، كشف عدم الاتزان
- EEG: نطاقات إيقاع المخ (δ، θ، α، β، γ)
7 / 9
DSP 101
M9 · L1
أهم النقط
اتعلّمت إيه
- الـ PSD = متوسط توزيع القدرة على الـ frequencies للـ signals العشوائية
- وينر-خينتشين: الـ PSD هي الـ DTFT للـ autocorrelation sequence
- تكامل الـ PSD = القدرة الكلية (المساحة = R_xx[0])
- الأحادي الجانب بيضاعف قيم الثنائي الجانب؛ غلطة 3 dB لو خلطت بينهم
- الـ periodogram بسيط بس الـ variance بتاعه عالي — الدرس الجاي: طريقة Welch
- الـ white noise الـ PSD بتاعته مفرودة؛ والحد الحراري ≈ −174 dBm/Hz عند 290 K
9 / 9
1 / 8
صامت