افتح المِنصّة اللامعلمية وبدّل بين ثلاث مجموعات بياناتٍ جاهزة. توقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — كيف يقارَن ارتباط سبيرمان للرتب ρ بارتباط بيرسون r على سحابةٍ منحنيةٍ لكنها صاعدة، وماذا تفعل قيمةٌ شاذّةٌ واحدة بكلٍّ منهما، وكم قمّةً يكشفها تقدير كثافة النواة حيث لا يرى التوزيعُ الطبيعيُّ المُطابَق إلا جرسًا واحدًا.
التلخيصات المعلمية تفترض شكلًا. أما الطريقة اللامعلمية فلا. ارتباط سبيرمان هو ارتباط بيرسون r محسوبًا على الرتب، فلا يقرأ إلا ترتيب النقاط: يقترب من 1 لأيّ صعودٍ رتيب — حتى y = x³ حيث يقصّر ارتباط الخطّ المستقيم r — وقيمةٌ شاذّةٌ منفردةٌ تجرّ r بعيدًا لا تكاد تحرّكه، لأنّ الرتبة لا تنتقل إلا موضعًا واحدًا. وتقدير كثافة النواة يجمع نتوءًا صغيرًا K بعرض h فوق كل نقطة، فيُظهر قمّتين حيث يضطر التوزيعُ الطبيعيُّ الأمثلُ إلى دمجهما في واحدة. لا معلمية، ومتينة.
افتح المِنصّة. تفتح على النمط ثنائي القمّة بعرض نطاق h = 3 ومدى LOESS يساوي 0.5. تُسمّي كل خطوة النمط الوحيد الذي تُحمّله من القائمة؛ واترك عرض النطاق والمدى عند هاتين القيمتين ما لم تَقُل خطوةٌ غير ذلك.
Preset -> cubic / outlier / bimodal (each step names one)
Bandwidth h -> 3 LOESS span -> 0.5 Seed -> 20260906
راقب ثلاث قراءات: Pearson r، وSpearman ρ، وKDE humps. تُسحب الأنماط من بَذرةٍ ثابتة، فالأرقام التي تتوقّعها هي القيم المطبوعة هناك بالضبط.
اختر النمط cubic من القائمة. تصعد سحابته طوال الطريق لكنها تنحني مثل y = x³ — متزايدة تزايدًا صارمًا، لا مستقيمة. توقَّع ارتباط سبيرمان للرتب ρ الذي لا يقرأ إلا ترتيب النقاط، ثم اقرأ قراءة Spearman ρ.
تقرأ Spearman ρ نحو 0.980 — قريبًا من 1 التامّة. ولأنّ ρ هو ارتباط بيرسون r على الرتب، فهو لا يرى إلا أنّ الصعود لا يرتدّ، فأيّ تزايدٍ رتيب — بما فيه y = x³ تمامًا حيث ρ = 1 — يسجّل قرب القمّة.
ابقَ على النمط cubic. الآن توقَّع ارتباط بيرسون r، الارتباط الخطّي، على النقاط نفسها — فهو يقيس مدى قربها من خطٍّ مستقيم، لا مجرّد كونها تصعد. اقرأ قراءة Pearson r.
تقرأ Pearson r نحو 0.912 — أدنى بوضوح من 0.980 لسبيرمان. المنحنى علاقةٌ حقيقيةٌ وثيقة، لكنه إذ ينحني، يبخس مقياسُ الخطّ المستقيم قدرَه. ارتباط الرتب هو التلخيص الأمين لعلاقةٍ رتيبةٍ لكن منحنية.
بدّل إلى النمط outlier: علاقةٌ خطّيةٌ نظيفة مع نقطةٍ واحدة قُذفت بعيدًا عنها. توقَّع ما تفعله تلك النقطة المنفردة بارتباط بيرسون r، ثم اقرأ قراءة Pearson r.
ينهار Pearson r إلى نحو 0.724. يعمل بيرسون بالمسافات الخام، فنقطةٌ واحدةٌ بعيدةٌ عن الخطّ تسحب المُعامِل كلَّه إلى أسفل بقوّة — مشاهدةٌ واحدة تعيد كتابة التلخيص.
ابقَ على النمط outlier. الآن توقَّع ارتباط سبيرمان ρ على البيانات نفسها. فهو لا يقرأ إلا رتبة كل نقطة، فالقيمة الشاذّة ليست إلا الكبرى، موضعًا واحدًا أبعد. اقرأ قراءة Spearman ρ.
يبقى Spearman ρ مرتفعًا عند نحو 0.981 — لم يكد ارتباط الرتب يتحرّك بينما هبط بيرسون إلى 0.724. استبدال القيم بالرتب يحدّ من المسافة التي يمكن أن تقطعها أيّ نقطةٍ منفردة، وهذا بالضبط سبب متانة طرائق الرتب تجاه القيم الشاذّة.
بدّل إلى النمط bimodal واترك عرض النطاق عند قيمته الافتراضية h = 3. يجمع تقدير كثافة النواة نتوءًا صغيرًا فوق كل نقطة؛ توقَّع كم قمّةً يكشف، ثم اقرأ قراءة KDE humps (ولاحظ التوزيع الطبيعيَّ المُطابَق المتقطّع بجانبها).
تُظهر قراءة KDE humps القيمة 2. يكشف تقدير كثافة النواة العنقودين كليهما، بينما لا يملك التوزيعُ الطبيعيُّ الأمثلُ — المُرغَم على أن يكون جرسًا متماثلًا واحدًا — إلا قمّةً 1 واحدة، فيدمج الاثنين معًا. الكثافة اللامعلمية تُظهر بنيةً لا يقدر عليها المُطابَق المعلمي.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اسحب عرض النطاق h إلى أسفل وراقب كثافة النمط ثنائي القمّة تنقسم إلى قممٍ زائفةٍ أكثر فأكثر، ثم إلى أعلى حتى تُفرِط في التنعيم فتعود إلى واحدة؛ واضغط «Use Silverman’s h» للاختيار المدفوع بالبيانات؛ وحرّك مدى LOESS لترى انحدارًا محلّيًّا يتبع منحنًى يُسطّحه الخطُّ المستقيم.
- قرأتَ ارتباط سبيرمان ρ ≈ 0.980 على النمط المنحني cubic — شبه تامٍّ لصعودٍ رتيب
- رأيتَ ارتباط بيرسون r ≈ 0.912 على السحابة نفسها — مقياس الخطّ المستقيم يبخس الانحناء قدره
- راقبتَ قيمةً شاذّةً واحدة تجرّ بيرسون إلى r ≈ 0.724
- …بينما ثبت سبيرمان عند ρ ≈ 0.981 — ارتباط الرتب متين
- رأيتَ تقدير كثافة النواة يكشف 2 قمّتين حيث لا يرى التوزيعُ الطبيعيُّ المُطابَق إلا جرسًا واحدًا