افتح لوحة الاختبار التشخيصي في مِحاكي الاحتمالات واقرأ الاحتمال البعدي لاختبارٍ عالي الدقة لمرضٍ نادر، وتوقَّع — قبل أن تقرأها من الشاشة — احتمالَ أنّك مريضٌ فعلًا عند نتيجةٍ إيجابية P(D|+)، والاحتمالَ الكلّي لنتيجةٍ إيجابية P(+)، وكم فردًا من السكّان تظهر نتيجتهم إيجابية، وكيف يتغيّر الاحتمال البعدي نفسه حين يكون المرض شائعًا.
اختبارٌ حساسيته 99% ونوعيته 99% يبدو شبه مثاليّ. لكن حين يحمل المرضَ 1% فقط من الناس، فإنّ نتيجةً إيجابية تعني وجود المرض بالكاد في نصف الحالات — لأنّ الأصحّاء البالغة نسبتهم 99% ينتجون من الإيجابيات الكاذبة عددًا يساوي الإيجابيات الصحيحة واحدًا بواحد. هذا أثر معدّل الأساس: تعتمد الإجابة على مدى شيوع المرض (prev) لا على الاختبار وحده. تجعله مبرهنة بايز مضبوطًا، وتجعله أعداد الالتباس ملموسًا — فـP(D|+) ليس نفسه دقّة الاختبار.
افتح مِحاكي الاحتمالات واستخدم لوحة الاختبار التشخيصي (تلك التي فيها منزلقات الانتشار والحساسية والنوعية وجدول التباس). تُسمّي كل خطوة الشيء الوحيد الذي تضبطه؛ اترك ما عداه.
Test panel -> prev = 1%, sens = 99%, spec = 99% Population N = 100000
Read off -> P(D|+), P(+), TP, FP, count-based posterior TP/(TP+FP)
راقب قراءة الاختبار للاحتمال البعدي المضبوط P(disease | +) والاحتمال الكلّي P(+)، وجدول الالتباس لعددَي الإيجابيات الصحيحة والكاذبة والاحتمال البعدي الذي يستلزمانه. كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
اضبط prev = 1% وsens = 99% وspec = 99%. توقَّع الاحتمال البعدي P(D|+) — احتمالَ أنّك تحمل المرض فعلًا عند نتيجةٍ إيجابية — ثم اقرأ قراءة الاختبار.
تُظهر القراءة P(D|+) = 0.5 — رمية عملةٍ بالضبط، رغم اختبارٍ يصيب في 99% من الحالات. تلك هي مفاجأة معدّل الأساس.
أبقِ الإعدادات نفسها. توقَّع الاحتمال الكلّي لنتيجةٍ إيجابية P(+) — عبر كامل السكّان، مرضى أو أصحّاء — ثم اقرأه.
تُظهر القراءة P(+) = 0.0198 — نحو 1.98% تظهر نتيجتهم إيجابية. نصفهم من الأصحّاء البالغة نسبتهم 99%، ولهذا تكون النتيجة الإيجابية نصف مقنعةٍ فقط.
اضبط السكّان على N = 100000 واقرأ جدول الالتباس. توقَّع كم فردًا هم إيجابيات صحيحة — مرضى ومُصنَّفون كذلك — ثم اقرأ خلية TP.
يُظهر الجدول TP = 990 إيجابيةً صحيحة — من بين 1000 مريضٍ في 100000، تلتقط الحساسية البالغة 99% منهم 990.
الإعدادات نفسها والسكّان أنفسهم. الآن توقَّع كم فردًا هم إيجابيات كاذبة — أصحّاء لكنّهم مُصنَّفون إيجابيين — ثم اقرأ خلية FP.
يُظهر الجدول FP = 990 إيجابيةً كاذبة — العدد نفسه كالإيجابيات الصحيحة. من بين 99000 صحيحٍ، يُصنَّف 1% خطأً، وهذا يساوي الحالات الحقيقية البالغة 990.
اقرأ الاحتمال البعدي المبنيّ على الأعداد الذي يذكره الجدول: TP/(TP+FP). توقَّعه من العددين اللذين قرأتهما للتوّ — 990 و990 — ثم اقرأه.
الاحتمال البعدي المبنيّ على الأعداد هو 990/1980 = 0.5 — مطابقٌ لقيمة بايز المضبوطة من الخطوة الأولى. المفارقة حسابٌ حقيقي لا أثرَ تقريب.
الآن ارفع prev = 50% واضبط sens = 90% وspec = 80%. توقَّع الاحتمال البعدي P(D|+) — مع مرضٍ شائع، هل تكون النتيجة الإيجابية أجدرَ بالثقة؟
تقفز القراءة إلى P(D|+) = 0.818 — حتى مع اختبارٍ أضعف، صارت النتيجة الإيجابية جديرةً بالثقة الآن. معدّل الأساس، لا الاختبار، هو ما قاد المفاجأة كلّها.
كل ما سبق ينتظرك في مِحاكي الاحتمالات. اخفِض منزلق الانتشار وراقب الاحتمال البعدي ينهار بينما يبقى الاختبار دقيقًا بنسبة 99%؛ ثم ارفعه وراقب النتيجة الإيجابية تعود جديرةً بالثقة؛ واقرأ جدول الالتباس لترى الإيجابيات الصحيحة والكاذبة تتطابق واحدًا بواحد. لم يتغيّر الاختبار — تغيّر معدّل الأساس.
- قرأتَ الاحتمال البعدي P(D|+) = 0.5 لاختبارٍ دقّته 99% على مرضٍ نسبته 1% — رمية عملة
- وجدتَ الاحتمال الكلّي لنتيجةٍ إيجابية P(+) = 0.0198 عند الإعدادات نفسها
- عددتَ TP = 990 إيجابيةً صحيحة في سكّانٍ عددهم 100000
- عددتَ FP = 990 إيجابيةً كاذبة — تطابق الإيجابيات الصحيحة واحدًا بواحد
- أكّدتَ أنّ الاحتمال البعدي المبنيّ على الأعداد 990/1980 = 0.5 يتّفق مع قيمة بايز المضبوطة
- رفعتَ الانتشار إلى 50% وراقبتَ P(D|+) يرتقي إلى 0.818 — دليلٌ على أنّ معدّل الأساس، لا الاختبار، قاد المفاجأة