افتح مِنصّة السلاسل الزمنية وفكِّك سلسلةً واحدة بثلاث طرق. توقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — ماذا يجب أن يكون الارتباط الذاتي عند الإزاحة 0، وأين يقفز ACF لموجةٍ موسميةٍ خالصة، وهل يعيد تفكيكُ الاتجاه والموسم والضجيج تركيبَ السلسلة الأصلية تمامًا، وماذا يساوي مُعامِل مُلاءمة AR(1).
السلسلة الزمنية بياناتٌ مُفهرسةٌ بالزمن، وهي تحمل ذاكرة: يشبه اليومُ أمسَه. ودالّة الارتباط الذاتي ρ_k تقيس تلك الذاكرة عند كل إزاحة k؛ وهي مُعيَّرةٌ بالتباين، فتكون ρ_0 = 1 لكل سلسلة، وتظهر دورةٌ موسميةٌ بطول P على هيئة قفزةٍ عند الإزاحة P. والتفكيك يقسم السلسلة إلى اتجاهٍ بطيء T_t وموسمٍ متكرّر S_t وباقٍ R_t، مُعرَّفةً بحيث T_t + S_t + R_t = y_t تمامًا. أمّا نموذج AR(p) فيتنبّأ بكل قيمةٍ من ماضيها؛ ومُلاءمتُه بطريقة يول-ووكر تجعل مُعامِله الأوّل عند p = 1 مساويًا تمامًا للارتباط الذاتي عند الإزاحة 1، أي φ̂₁ = ρ₁.
افتح المِنصّة. تفتح على سلسلتها الافتراضية (ميل الاتجاه 0.1، سعة الموسم 8، الدور 12، انحراف الضجيج 2، البَذرة 7، نافذة المتوسّط المتحرّك 12، رتبة AR تساوي 2). تُسمّي كل خطوة المؤشّرات التي تُحرّكها؛ واضغط «reset to defaults» بين خطوة الموجة الخالصة وبقية الخطوات.
Sliders -> slope / amplitude / period / noise / seed / MA window / AR order p
Defaults -> 0.1 / 8 / 12 / 2 / 7 / 12 / 2 Series: n = 120, level = 50
راقب القراءات: ACF at season، وreconstruction (أكبر قيمة لـ|T+S+R − y|)، وAR coeffs، وكتلة البنية أدناه (التي تطبع ρ_0، وأكبر إزاحةٍ في ACF، ومُطابَقة p = 1: φ̂ = ρ₁). السلسلة مبذورة، فالأرقام التي تتوقّعها هي المطبوعة بالضبط.
اترك المِنصّة على سلسلتها الافتراضية. في كتلة البنية أسفل الرسوم، يطبع سطرُ ACF قيمة ρ_0 أوّلًا. توقَّع قيمتها — ارتباط السلسلة بنسخةٍ منها مُزاحةٍ بمقدار 0 خطوة — ثم اقرأها.
ρ_0 = 1 — تمامًا، ولِكلّ سلسلة. فدالّة الارتباط الذاتي هي التغاير الذاتي مقسومًا على التباين γ_0، فعند الإزاحة 0 تكون النسبة γ_0 / γ_0 = 1. تكون السلسلة دائمًا مرتبطةً بنفسها ارتباطًا تامًّا؛ والسؤال المهمّ هو كم يتلاشى ذلك الارتباط بسرعةٍ كلّما كبرت الإزاحة.
الآن ابنِ موجةً موسميةً خالصة: اسحب Trend slope إلى 0 وNoise SD إلى 0، مع إبقاء السعة 8 والدور 12. توقَّع قراءة ACF at season — الارتباط الذاتي عند الإزاحة 12 — ثم اقرأها (وقارنها بنطاق الدلالة ±0.179).
تقرأ ACF at season نحو 0.900 — قفزةٌ عاليةٌ أعلى بكثيرٍ من نطاق ±0.179. فجيبُ تمامٍ بدورٍ 12 يتكرّر كل 12 خطوة، فتتطابق السلسلة مع نفسها عند تلك الإزاحة: تُعلن الموسمية عن نفسها بارتباطٍ ذاتيٍّ موجبٍ كبيرٍ عند الإزاحة الموسمية.
ابقَ على الموجة الخالصة. تنتهي كتلة البنية بعبارة «largest at lag ___»، وهي إزاحة أطول عمودٍ في ACF بعد الإزاحة 0. توقَّع أيّ إزاحةٍ هي لموجةٍ بدورٍ 12، ثم اقرأها.
تقع الذروة عند الإزاحة 12 — أي الدور نفسه. فموجةٌ جيبيةٌ بدورٍ P تبلغ ذروة ارتباطها الذاتي عند الإزاحة P (ثم عند 2P و3P…). وقراءة الإزاحة المهيمنة في ACF هي كيف تستعيد دورًا موسميًّا مجهولًا من البيانات مباشرة.
اضغط «reset to defaults» للعودة إلى السلسلة الافتراضية المشوّشة. انظر إلى قراءة reconstruction — أكبر قيمةٍ لـ|T_t + S_t + R_t − y_t| عبر السلسلة كلّها. توقَّع هل يعيد الاتجاهُ والموسمُ والباقي تركيبَ البيانات الأصلية، ثم اقرأها.
خطأ إعادة التركيب صفرٌ فعليًّا 0 — نحو 7.1e-15، وهي دقّة الآلة. وليس هذا من حسن الحظّ: فالباقي مُعرَّفٌ بأنّه R_t = y_t − T_t − S_t، فتكون T_t + S_t + R_t = y_t مُطابَقة. التفكيك يعيد ترتيب السلسلة ولا يفقد منها شيئًا.
مع البقاء على السلسلة الافتراضية، اسحب AR order p إلى 1. تُظهر كتلة البنية الآن «p = 1: φ̂ = ρ₁ = ___». توقَّع المُعامِل المُلائم φ̂₁ وعلاقته بالارتباط الذاتي عند الإزاحة الأولى، ثم اقرأه.
تُعطي المُلاءمة φ̂₁ ≈ 0.801، وهي تساوي الارتباط الذاتي عند الإزاحة الأولى ρ₁ تمامًا. وليس هذا مصادفة: فمُلاءمة AR(1) بطريقة يول-ووكر تحلّ φ₁ = γ₁ / γ_0 = ρ₁. فذاكرة النموذج ذات الخطوة الواحدة هي عينها ارتباط السلسلة عند الإزاحة الأولى.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. ارفع الضجيج وراقب الباقي ينمو بينما يحفظ الاتجاهُ والموسمُ شكلَهما؛ وأنزِل سعة الموسم إلى صفرٍ فتنهار قفزةُ ACF عند الإزاحة 12 داخل النطاق؛ وارفع رتبة AR وتنبّأ أبعد لترى نموذجًا مستقرًّا يتلاشى عائدًا نحو متوسّط السلسلة.
- تأكّدتَ من ρ_0 = 1 للسلسلة — دالّة الارتباط الذاتي مُعيَّرةٌ بالتباين
- رأيتَ موجةً موسميةً خالصة تقفز إلى ACF ≈ 0.900 عند الإزاحة الموسمية، أعلى بكثيرٍ من نطاق ±0.179
- قرأتَ ذروة ACF عند الإزاحة 12 — موجةٌ بدورٍ P تبلغ ذروتها عند الإزاحة P
- تحقّقتَ من أنّ T + S + R = y بدقّة الآلة (≈ 0) — فالباقي مُعرَّفٌ بهذه الصورة
- لاءمتَ AR(1) فوجدتَ φ̂₁ ≈ 0.801 = ρ₁ تمامًا — يول-ووكر عند p = 1