افتح مستكشف البيانات واكتب بعض مجموعات البيانات الصغيرة، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — المتوسّط والتباين العيّني لمجموعةٍ بسيطة، وماذا تفعل قيمةٌ شاذّةٌ واحدة بالمتوسّط مقابل الوسيط، وأيّ نقطة تَعُدّها قاعدة 1.5·IQR قيمةً شاذّة.
المتوسّط x̄ هو نقطة الاتّزان — اجمع القيم واقسم على n — لكنّه يتبع الذيل: قيمةٌ متطرّفةٌ واحدة تسحبه بعيدًا. أمّا الوسيط، وهو القيمة الوسطى بالرتبة، فيقاوم. ويقيس التشتّتَ التباينُ العيّني s²، الذي يقسم مجموع مربّعات الانحرافات على n − 1 لا على n: فالقسمة على n − 1 تجعله المُقدِّر غير المتحيّز، بينما القسمة على n هي تقدير الأرجحية العظمى الذي يأتي منخفضًا في العيّنات الصغيرة. وتَعزِل قاعدة 1.5·IQR القيمَ الشاذّة من الأرباع وحدها، فلا يجرّ الشاذُّ سياجه.
افتح مستكشف البيانات. يفتح على الإعداد المسبق «Simple» — البيانات 1, 2, 3, 4, 5 — مع طباعة كل إحصاءة حيّةً. تُسمّي كل خطوة الشيء الوحيد الذي تُغيّره؛ اكتب البيانات التي تطلبها بالضبط واترك ما عداها.
Preset -> Simple Data -> 1, 2, 3, 4, 5
Statistics panel -> mean, median, s^2 Box plot -> Q1, Q3, IQR, fences
راقب قراءتَي المتوسّط والوسيط، وقراءة التباين مع ملاحظة n − 1 (وملاحظة تباين المجتمع n بجانبها)، ولوحة مخطّط الصندوق التي ترسم الشعيرات والربيعين Q1/Q3 والمدى الربيعي IQR وأسيجة 1.5·IQR. كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
أبقِ الإعداد «Simple» كما هو. المتوسّط x̄ هو المجموع مقسومًا على n: (1+2+3+4+5)/5. توقَّعه، ثم اقرأ قراءة المتوسّط.
تُظهر قراءة المتوسّط 3 — نقطة اتّزان القيم الخمس. ولأنّ المجموعة متماثلة، يتطابق المتوسّط والوسيط.
ما زلنا على 1, 2, 3, 4, 5. الانحرافات عن المتوسّط هي −2, −1, 0, 1, 2، ومجموع مربّعاتها 10. يقسم التباين العيّني ذلك على n − 1 = 4 لا على n. توقَّع s²، ثم اقرأ قراءة التباين وملاحظتها n − 1.
تُظهر قراءة التباين 2.5 = 10/4. ويعرض العرض تباين المجتمع 2.0 = 10/5 بجانبها: يقسم s² على n − 1 ليكون المُقدِّر غير المتحيّز، بينما القسمة على n هي تقدير الأرجحية العظمى الذي يأتي منخفضًا في العيّنات الصغيرة.
اكتب البيانات 1, 2, 3, 4, 100. أربع نقاط لم تتغيّر وواحدة بعيدة. توقَّع المتوسّط الجديد، ثم اقرأ قراءة المتوسّط.
تقفز قراءة المتوسّط إلى 22 — سحبت قيمةٌ شاذّةٌ واحدة المتوسّط فوق كل نقطة عدا الشاذّة نفسها. نقطة انهيار المتوسّط صفر: قيمةٌ سيّئةٌ واحدة تنقله إلى أيّ مكان.
أبقِ البيانات 1, 2, 3, 4, 100. الوسيط هو القيمة الوسطى بالرتبة، والرتب لم تتغيّر. توقَّع الوسيط، ثم اقرأ قراءة الوسيط.
ما زالت قراءة الوسيط 3، تمامًا كما كانت لـ1, 2, 3, 4, 5. يعتمد الوسيط على الرتب وحدها، فدفع القيمة العليا إلى 100 — أو إلى مليار — لا يحرّكه. وهذه المقاومة هي سبب الإبلاغ عن الوسيط في البيانات الملتوية.
اكتب البيانات 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 50. يُبلغ مخطّط الصندوق عن Q1 = 13.5 وQ3 = 18.5، فيكون IQR = 5. السياج الأعلى هو Q3 + 1.5·IQR. توقَّعه، ثم اقرأ قراءة السياج في مخطّط الصندوق.
السياج الأعلى هو 26 = 18.5 + 1.5·5، والسياج الأدنى 6 = 13.5 − 1.5·5. تُعلَّم أيّ نقطة خارج [6, 26] كقيمةٍ شاذّة. هذه قاعدة توكي: تأتي الأسيجة من الأرباع لا من المتوسّط، فلا يجرّها الشاذّ نفسه.
البيانات نفسها 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 50. توقَّع أيّ قيمة (أو قيم) تُعلّمها قاعدة 1.5·IQR كقيمةٍ شاذّة، ثم اقرأ النقاط المُعلَّمة من مخطّط الصندوق.
تُعلَّم نقطةٌ واحدة بالضبط: 50، القيمة الوحيدة خارج السياج الأعلى 26. أمّا السبع الأخرى فتقع داخل [6, 26]، فتصل الشعيرة إلى 20، أكبر نقطة ما زالت داخل السياج. عزلت القاعدة الشاذّ دون أن يقرّر إنسانٌ معنى «البعيد».
كل ما سبق ينتظرك في مستكشف البيانات. جرّب الإعداد «Skewed» وراقب المتوسّط يجلس فوق الوسيط؛ وجرّب «Bimodal»، حيث يقع المتوسّط والوسيط كلاهما في الوادي الفارغ بين القمّتين ولا يصف أيٌّ منهما البيانات جيّدًا؛ واسحب عدد سِلال المدرّج التكراري وراقب الشكل يظهر ويتلاشى؛ واكتب بياناتك ليتحدّث مخطّط الصندوق والأرباع والأسيجة حيًّا.
- قرأتَ متوسّط 1, 2, 3, 4, 5: x̄ = 3
- قرأتَ التباين العيّني s² = 2.5، مقسومًا على n − 1 ليكون غير متحيّز (القسمة على n تعطي 2.0، تقدير الأرجحية العظمى)
- رأيتَ قيمةً شاذّةً واحدة تسحب المتوسّط إلى 22 بينما بقي الوسيط عند 3 — المتوسّط يتبع الذيل، والوسيط يقاوم
- حسبتَ سياج 1.5·IQR الأعلى، 26، من الأرباع
- رأيتَ القاعدة تُعلّم الشاذّ بالضبط، 50، ولا شيء غيره
- كل قيمة توقّعتها هي حساب العرض نفسه، لا صورة تقريبية