قِس رقم شرط المصفوفة، واختبر متى يتقارب الحلّال التكراري، وراقب نظامًا شبه شاذٍّ يُضخّم اضطرابًا في المِنصّة، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — أنّ κ يساوي واحدًا تمامًا لمصفوفةٍ مُتوازنة التحجيم وكبيرٌ لمصفوفةٍ ممطوطة، وأنّ تكرار Jacobi يتقارب بالضبط عندما يكون نصف قطره الطيفي ρ دون الواحد، وأنّ النظام سيّئ الشرط يُكبّر خطأ إدخالٍ ضئيلًا بمعامل κ.
رقم الشرط κ(A) = σmax/σmin هو نسبة أكبر قيمةٍ مفردة إلى أصغرها — وهو σmax/σmin الحقيقي، لا اختصارٌ من أطوال الأعمدة. يقول كم يمكن للمصفوفة أن تمطّ مقابل كم يمكن أن تسحق: κ = 1 حَسَن الشرط تمامًا، وκ الضخم شبه شاذّ. أمّا الحلّالان التكراريّان، Jacobi وغاوس-سايدل، فيتقاربان إذا وفقط إذا كان نصف القطر الطيفي لمصفوفة التكرار — أكبر مقياس قيمةٍ ذاتية لها ρ = maxi|λi| — دون الواحد، وهو ما تضمنه السيادة القطرية الصارمة. وتلتقي الفكرتان في حدّ الخطأ ‖δx‖/‖x‖ ≤ κ(A)·‖δb‖/‖b‖: رقم الشرط هو بالضبط أسوأ معاملٍ يُضخَّم به خطأ الإدخال النسبي.
افتح المِنصّة. تُبلِغ عن القيم المفردة ورقم الشرط لمصفوفة، وتُشغّل Jacobi وغاوس-سايدل على A x = b مع حكم تقارب، وتُضطرب b لقياس التضخيم. تُسمّي كل خطوة المصفوفة التي تضبطها، ثمّ اقرأ κ ونصف القطر الطيفي والحكم وقراءة التضخيم.
Condition: A = I = [[1,0],[0,1]] and A = diag(1,100) = [[1,0],[0,100]]
Iterate: [[4,1],[1,3]] b=(1,2) vs [[1,3],[2,1]] b=(4,3) Amplify: [[1,1],[1,1.0001]] b=(2,2.0001), perturb b by 0.001
راقب قراءة رقم الشرط κ، ونصف القطر الطيفي لـJacobi ρ وحكم التقارب/التباعد، ونسبة تضخيم الخطأ — كلّ رقمٍ تتوقّعه مطبوعٌ هناك.
اضبط A = I، أي المطابقة [[1,0],[0,1]]. كلتا القيمتين المفردتين 1، فيكون κ = σmax/σmin. توقَّع κ، ثمّ اقرأ قراءة رقم الشرط.
رقم الشرط هو κ = 1: المطابقة لا تمطّ ولا تسحق، فأكبر قيمةٍ مفردة لها وأصغرها متساويتان. المصفوفة الحَسَنة الشرط تُمرّر الأخطاء النسبية دون تغيير — وهي أفضل حالةٍ ممكنة.
اضبط A = diag(1, 100) = [[1,0],[0,100]] — فهي تُحجّم محورًا بـ1 والآخر بـ100. القيمتان المفردتان σmax = 100 وσmin = 1. توقَّع κ = σmax/σmin، ثمّ اقرأه.
رقم الشرط هو κ = 100: بالضبط σmax/σmin = 100/1، النسبة الحقيقية للقيم المفردة — لا تقديرٌ من أطوال الأعمدة قد يخطئ بمراتب. هذه المصفوفة تُكبّر خطأ الإدخال النسبي حتى مئة ضعف.
في لوحة التكرار اضبط A = [[4,1],[1,3]]، b = (1, 2) وشغّل Jacobi. لمصفوفة تكراره نصف قطرٍ طيفي ρ = maxi|λi|. توقَّع تقريبًا هل ρ دون 1، ثمّ اقرأ قراءة نصف القطر الطيفي.
نصف القطر الطيفي هو ρ ≈ 0.289 — أقلّ بكثير من 1. ولأنّ العناصر القطرية تهيمن على غير القطرية، فلمصفوفة التكرار قيمٌ ذاتية صغيرة، فيُقلّص كلّ مسحٍ لـJacobi الخطأ بنحو 0.289.
أبقِ A = [[4,1],[1,3]]، b = (1, 2). قاعدة التقارب هي بالضبط ρ < 1. توقَّع الحكم (1 = يتقارب، 0 = يتباعد)، ثمّ اقرأه.
الحكم هو 1: يتقارب، لأنّ ρ ≈ 0.289 < 1. والسيادة القطرية الصارمة شرطٌ كافٍ لهذا بالضبط — إذ تُشكّل أخطاء التكرارات المتتالية متتاليةً هندسية متقلّصة يحكمها ρ.
الآن اضبط المصفوفة غير المهيمنة A = [[1,3],[2,1]]، b = (4, 3) — فالعناصر غير القطرية (3 و2) تفوق القطرية. توقَّع نصف القطر الطيفي لـJacobi ρ، ثمّ اقرأه.
نصف القطر الطيفي هو ρ ≈ 2.449 — فوق 1، فيتباعد Jacobi: يكبر الباقي في كلّ مسحٍ بدل أن يتقلّص. والسيادة القطرية هي ما يفصل النظامين؛ افقدها فيهرب التكرار نفسه الذي كان يتقارب.
في لوحة التضخيم اضبط المصفوفة شبه الشاذّة A = [[1,1],[1,1.0001]]، b = (2, 2.0001)، واضطرب b باضطرابٍ نسبيٍّ مقداره 0.001 (0.1%). رقم شرطها نحو 40002. توقَّع نسبة التضخيم (‖δx‖/‖x‖) / (‖δb‖/‖b‖)، ثمّ اقرأها.
النسبة نحو 40002 — فدفعةٌ مقدارها 0.1% إلى b تصير خطأً نحو 4000% في الحلّ. وذلك المعامل هو بالضبط رقم الشرط κ، سقف أسوأ حالةٍ للحدّ ‖δx‖/‖x‖ ≤ κ·‖δb‖/‖b‖. لهذا يحسم الشرط، لا مجرّد صحّة الخوارزمية، الدقّة.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. غيّر المصفوفة وراقب القيم المفردة ورقم الشرط وصورة دائرة الوحدة وهي تصير قطعًا ناقصًا؛ وشغّل Jacobi وغاوس-سايدل وراقب أثر الباقي يتقارب أو يتباعد بينما يعبر نصف القطر الطيفي الواحد؛ واضبط الاضطراب لترى نظامًا حَسَن الشرط يتجاهله بينما يُضخّمه نظامٌ شبه شاذّ.
- قِستَ κ(I) = 1 — مصفوفة حَسَنة الشرط تمامًا
- قِستَ κ(diag(1,100)) = 100، أي σmax/σmin الحقيقي، لا تقديرًا
- قرأتَ نصف القطر الطيفي لـJacobi ρ ≈ 0.289 لـ[[4,1],[1,3]]
- أكّدتَ أنّ ρ < 1 يعطي الحكم 1 — يتقارب
- رأيتَ المصفوفة غير المهيمنة [[1,3],[2,1]] تبلغ ρ ≈ 2.449 > 1 — تتباعد
- راقبتَ نظامًا شبه شاذٍّ يُضخّم اضطرابًا مقداره 0.1% بمعامل 40002 = κ
- كل قيمة توقّعتها هي الحساب العددي الخاصّ بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية