احسب معاملات فورييه لموجةٍ مربّعة، وأكّد أنّ أساس الجيب/جيب التمام متعامد، وراقب خطأ إعادة البناء وتجاوز غيبس كلّما أضفتَ حدودًا في المِنصّة، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — أنّ التوافقيات الفردية وحدها تظهر، وأنّ دوال الأساس متعامدة، وأنّ الخطأ يتناقص كلّما كبُر N، وأنّ التجاوز عند القفزة يأبى أن يتلاشى.
تُعامِل متسلسلة فورييه دالةً دوريّةً ذات دورٍ T كأنّها متّجهٌ في فضاء حاصل الضرب الداخلي مع ⟨f, g⟩ = ∫₀ᵀ f(t) g(t) dt. ودوال الأساس 1, cos(2πkt/T), sin(2πkt/T) متعامدة، فيكون كلّ معامل مجرّد إسقاطٍ لـf على متّجهِ أساسٍ واحد مقسومًا على مربّع نظيمته: aₖ = (2/T)⟨f, cosₖ⟩، bₖ = (2/T)⟨f, sinₖ⟩. والمجموع الجزئي ذو N حدًّا هو أقرب نقطةٍ في الفضاء الجزئي المولَّد بأوّل N توافقية — فتحليل فورييه إسقاطٌ متعامد.
افتح المِنصّة. اختَر الموجة المربّعة، واضبط عدد الحدود والدور، ثمّ اقرأ أعمدة المعاملات وجدول التعامد وقراءة جذر متوسّط المربّعات وقراءة تجاوز غيبس. تُسمّي كلّ خطوة القيم التي تضبطها، ثمّ اقرأ الرقم من الشاشة.
Waveform = square N (terms) = 12 Period T = 1 (read: b1, b2, b3, a1)
Also read: , , RMS at N=2 and N=20, Gibbs overshoot at N=40
راقب أعمدة المعاملات (التوافقيات الفردية bₖ وحدها غير صفريّة)، وجدول التعامد (أصفارٌ خارج القطر وT/2 عليه)، وخطأ جذر متوسّط المربّعات المتناقص مقابل تجاوز غيبس العنيد — كلّ رقمٍ تتوقّعه مطبوعٌ هناك.
اختَر الموجة square مع N = 12 حدًّا ودورٍ T = 1. المعامل الجيبي الأوّل b₁ هو إسقاط الموجة المربّعة على sin(2πt). توقَّع b₁، ثمّ اقرأ عمود المعامل الأوّل.
المعامل هو b₁ = 4/π ≈ 1.273 — وهو الارتفاع الدقيق لأساسية الموجة المربّعة. وتتبع كلّ توافقية فردية القاعدة نفسها، bₖ = 4/(kπ)، فيكون b₃ = 4/(3π) ≈ 0.424.
أبقِ الموجة square، N = 12، T = 1. انظر إلى المعامل الجيبي الثاني b₂ (حدّ sin(4πt)). توقَّع قيمته، ثمّ اقرأ عمود المعامل الثاني.
إنّه b₂ = 0: للموجة المربّعة توافقيات جيبية فردية فقط. فتناظرها نصف الموجي — النصف الثاني نظير الأوّل بالسالب — يُلغي كلّ حدٍّ زوجي، فتُبنى إعادةُ التركيب من sin(2πt), sin(6πt), sin(10πt), … وحدها.
في جدول التعامد اقرأ خانة ⟨sin₁, sin₂⟩ — حاصل الضرب الداخلي لأوّل دالّتَي أساسٍ جيبيّتَين على دورٍ واحد. توقَّعه، ثمّ اقرأ الخانة خارج القطر.
إنّه ⟨sin₁, sin₂⟩ = 0: فأيّ توافقيّتين مختلفتين متعامدتان. وهذا بالضبط سبب إمكان حساب كلّ معامل على حِدة — فالإسقاط على sin₁ لا يلتقط شيئًا من sin₂.
الآن اقرأ خانة القطر ⟨sin₂, sin₂⟩ — حاصل ضرب توافقية بنفسها، على الدور T = 1. توقَّعه، ثمّ اقرأ خانة القطر.
إنّه ⟨sin₂, sin₂⟩ = T/2 = 0.5: فمربّع نظيمة كلّ توافقية جيبية هو T/2. وهذا هو المقسوم عليه في صيغة المعامل — وهو سبب حمل bₖ = (2/T)⟨f, sinₖ⟩ معاملَ التوحيد 2/T.
مع الموجة square، اضبط N = 20 حدًّا واقرأ خطأ إعادة البناء بجذر متوسّط المربّعات. قارِنه بحالة N = 2، التي جذرُها نحو 0.435. توقَّع جذر N = 20، ثمّ اقرأه.
خطأ جذر متوسّط المربّعات نحو 0.142 عند N = 20، هابطًا من 0.435 عند N = 2: فإضافة التوافقيات تُقلّص باطّراد مسافة L² إلى الموجة الحقيقية (متباينة بسل). يتناقص الخطأ مع كلّ حدّ، وإن جعله انقطاعٌ قفزيٌّ يتناقص ببطء.
ادفع الموجة square إلى N = 40 حدًّا واقرأ تجاوز غيبس — كم يتخطّى المجموع الجزئي القيمةَ الحقيقية عند القفزة، كنسبةٍ من ارتفاع القفزة. توقَّعه، ثمّ اقرأ القراءة.
التجاوز نحو 8.96% من القفزة — ويبقى عندها. فإضافة الحدود تجعل النتوء أضيق لا أقصر أبدًا: يتقارب نحو ثابت ويلبراهام-غيبس، نحو 8.95%. تقارب L² لا يعني الدقّة النقطية عند الانقطاع — وهذه هي المفاجأة الكلاسيكية لمتسلسلة فورييه.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. بدّل الموجات، واسحب عدد الحدود، وراقب أعمدة المعاملات وإعادةَ البناء بالمجموع الجزئي وجدولَ التعامد وخطأَ جذر متوسّط المربّعات وتجاوزَ غيبس تتحدّث معًا — ثمّ ادفع الموجة المربّعة إلى قيمةٍ عالية من N وراقب التجاوز يضيق لكنّه لا يتقلّص أبدًا.
- حسبتَ أساسية الموجة المربّعة، b₁ = 4/π ≈ 1.273
- رأيتَ التوافقية الزوجية تتلاشى، b₂ = 0 — التوافقيات الفردية وحدها تبقى
- أكّدتَ أنّ التوافقيات المختلفة متعامدة، ⟨sin₁, sin₂⟩ = 0
- قرأتَ مربّع نظيمة توافقية، ⟨sin₂, sin₂⟩ = T/2 = 0.5
- راقبتَ خطأ جذر متوسّط المربّعات يهبط — 0.435 عند N = 2 إلى 0.142 عند N = 20
- رأيتَ تجاوز غيبس يثبت نحو 8.96% عند N = 40 — يضيق ولا يتقلّص
- كل قيمة توقّعتها هي حساب فورييه الخاصّ بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية