وحِّد متّجهات متعامدة بطريقة غرام-شميت، وأسقِط متّجهًا هدفًا على فضاء جزئي، ولائم خطًّا بالمربّعات الصغرى في المِنصّة، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — أنّ غرام-شميت يُعيد متّجهات وحدة متعامدة، وأنّ باقي الإسقاط عموديٌّ على الفضاء الجزئي، وأنّ المربّعات الصغرى تستعيد الخطّ تمامًا عبر نقاطٍ على استقامة واحدة.
يكون متّجهان متعامدين عندما يكون جداؤهما القياسي صفرًا. تُحوِّل طريقة غرام-شميت أيّ مجموعة مستقلّة إلى أساسٍ متعامدٍ موحّد q₁, q₂, … — متعامدة وطول كلٍّ منها واحد — بطرح إسقاط كلّ متّجه على كلّ متّجهٍ أساسيٍّ قُبِل سابقًا ثمّ التوحيد. إسقاط متّجهٍ هدفٍ b على ذلك الفضاء الجزئي يعطي proj = ∑ᵢ (b · qᵢ) qᵢ؛ ويكون الباقي residual = b − proj دائمًا ⊥ على الفضاء الجزئي. والمربّعات الصغرى الفكرة نفسها: يُسقِط خطّ أفضل مُلاءمة b على فضاء أعمدة A، بحلّ المعادلات السَّوِيّة AᵀA x̂ = Aᵀb.
افتح المِنصّة. تأخذ لوحة غرام-شميت متّجهين v₁, v₂؛ وتُسقِط لوحة الإسقاط متّجهًا هدفًا b على فضاءٍ جزئيٍّ مختار؛ وتُلائم لوحة المربّعات الصغرى خطًّا لمجموعة بيانات. تُسمّي كلّ خطوة القيم التي تضبطها، ثمّ اقرأ الأساس المتعامد الموحّد والإسقاط والباقي وقراءات المُلاءمة.
Gram-Schmidt: v1 = (2, 1), v2 = (1, 3) | Project b = (2, 3) onto span{(1, 0)}
Least squares: xs = 0 1 2 3 4, ys = 1 3 5 7 9 (Read: q1.q2, |q1|, proj, residual, slope, RMS)
راقب فحص التعامد (q₁ · q₂ وكلّ |qᵢ|)، وقراءتي الإسقاط والباقي، وميل المربّعات الصغرى وجذر متوسّط المربّعات — كلّ رقمٍ تتوقّعه مطبوعٌ هناك.
اضبط v₁ = (2, 1) وv₂ = (1, 3) — وهما مستقلّان. يُبقي غرام-شميت q₁ بمحاذاة v₁، ثمّ يطرح مركّبة v₂ على امتداد q₁. توقَّع الجداء القياسي q₁ · q₂، ثمّ اقرأ القراءة.
الجداء القياسي هو q₁ · q₂ = 0: فمتّجها الأساس متعامدان. طرح مركّبة v₂ على q₁ يترك باقيًا عموديًّا على q₁ بحكم البناء.
أبقِ v₁ = (2, 1)، v₂ = (1, 3). بعد التعامد، يقسم غرام-شميت كلّ باقٍ على طوله. توقَّع |q₁|، ثمّ اقرأ قراءة الطول.
الطول هو |q₁| = 1. "متعامدٌ موحّد" يعني متعامدًا وموحّد الطول معًا — القسمة على |w| هي الخطوة التي تجعل طول كلّ متّجهٍ وحدةً واحدة بالضبط.
في لوحة الإسقاط اضبط الهدف b = (2, 3) وأسقِطه على المحور السيني، span{(1, 0)}. توقَّع المركّبة السينية للإسقاط proj، ثمّ اقرأ القراءة.
الإسقاط هو proj = (2, 0)، فمركّبته السينية 2: الإسقاط على المحور السيني يُبقي الجزء الأفقي من b ويُهمِل الجزء الرأسي — والمُعامِل هو b · q₁ = 2.
أبقِ b = (2, 3) مُسقَطًا على span{(1, 0)}. الباقي هو residual = b − proj = (0, 3). توقَّع جداءه القياسي مع q₁، ثمّ اقرأ القراءة.
الجداء القياسي هو residual · q₁ = 0: فالباقي ⊥ على الفضاء الجزئي. وهذا ما يجعل الإسقاط أقرب نقطةٍ في الفضاء الجزئي إلى b — إذ لا يبقى شيءٌ في اتّجاهه.
في لوحة المربّعات الصغرى اختَر مجموعة النقاط المستقيمة تمامًا xs = 0 1 2 3 4، ys = 1 3 5 7 9 — النقاط على y = 1 + 2x. توقَّع الميل المُلائم c₁، ثمّ اقرأه.
الميل هو c₁ = 2 (والمقطع c₀ = 1): تستعيد المعادلات السَّوِيّة AᵀA x̂ = Aᵀb الخطّ بالضبط عندما تكون النقاط على استقامةٍ واحدة أصلًا.
أبقِ مجموعة النقاط المستقيمة xs = 0 1 2 3 4، ys = 1 3 5 7 9. يمرّ الخطّ المُلائم بكلّ نقطة. توقَّع جذر متوسّط مربّعات الباقي RMS، ثمّ اقرأه.
الخطأ هو RMS = 0: كلّ باقٍ صفر، فيكون إسقاط b على فضاء الأعمدة هو b نفسه. اسحب نقطةً واحدة بعيدًا عن الخطّ (جرّب مجموعة النقطة الشاذّة) فيقفز جذر متوسّط المربّعات فوق الصفر.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اسحب المتّجهات وراقب غرام-شميت يُعامِدها ويوحّدها خطوةً خطوة، وحرّك الهدف لترى إسقاطه وباقيه يتحدّثان، وبدّل مجموعات البيانات لتراقب خطّ المربّعات الصغرى وجذر متوسّط مربّعاته يستجيبان — ثمّ تحقّق من بقاء الباقي عموديًّا مهما حرّكت الأشياء.
- عامَدتَ ووحّدتَ (2, 1) و(1, 3) بغرام-شميت — متعامدان، q₁ · q₂ = 0
- أكّدتَ أنّ طول كلّ متّجه أساسٍ واحد، |q₁| = 1
- أسقطتَ b = (2, 3) على المحور السيني — proj = (2, 0)
- رأيتَ أنّ الباقي (0, 3) عموديٌّ على الفضاء الجزئي، residual · q₁ = 0
- لاءمتَ الخطّ المستقيم بالمربّعات الصغرى — الميل c₁ = 2، RMS = 0
- كل قيمة توقّعتها هي حساب التعامد الخاصّ بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية