ابنِ مصفوفات 2×2 واقرأ قيمها الذاتية ومتّجهاتها الذاتية وأثرها ومحدّدها في المستكشف، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — القيم الذاتية لمصفوفة متماثلة، وهل متّجهاتها الذاتية متعامدة، وأنّ الأثر يساوي مجموع القيم الذاتية والمحدّد يساوي حاصل ضربها، ولماذا لا يكون للتدوير اتّجاهٌ ذاتيٌّ حقيقي.
المتّجه الذاتي لـA اتّجاهٌ لا يفعل به التحويل سوى التمديد دون تدوير: A v = λ v، حيث القيمة الذاتية λ هي معامل التمديد. القيم الذاتية هي جذور كثيرة الحدود المميّزة λ² - tr(A) λ + det(A) = 0، فمميّزها tr(A)² - 4 det(A) يقرّر النوع: الموجب يعطي قيمتين ذاتيتين حقيقيتين، والسالب زوجًا عقديًّا — أي تدويرًا لا يبقى فيه اتّجاهٌ حقيقيٌّ ثابتًا. وتصحّ دائمًا هُويّتان: tr(A) = λ₁ + λ₂ وdet(A) = λ₁ λ₂. كما أنّ المصفوفة المتماثلة لها دائمًا قيمٌ ذاتية حقيقية ومتّجهاتٌ ذاتية متعامدة.
افتح المستكشف. تُسمّي كل خطوة المصفوفة A من نوع 2×2 التي تضبطها من مُدخلاتها الأربعة a b c d؛ اكتبها في حقول المصفوفة، ثم اقرأ قراءات القيمة الذاتية والمتّجه الذاتي والأثر والمحدّد.
Matrix A -> [ a b ; c d ] (set the four entries each step names)
Read: eigenvalues, eigenvectors, tr(A), det(A), discriminant
راقب قراءات القيمة الذاتية والمتّجه الذاتي والأثر والمحدّد والمميّز في اللوحة الرئيسية — كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
اضبط A = [[2, 1], [1, 2]] — وهي متماثلة. تُحلّ قيمها الذاتية det(A - λ I) = 0، أي λ² - 4λ + 3 = 0. توقَّع القيمة الذاتية الأكبر λ₁، ثم اقرأ القراءة.
تُظهر القراءة الزوج {3, 1}، فتكون λ₁ = 3: تتحلّل كثيرة الحدود إلى (λ - 3)(λ - 1). الجذران حقيقيان — فالمصفوفة المتماثلة لها دائمًا قيمٌ ذاتية حقيقية.
أبقِ A = [[2, 1], [1, 2]]. اقرأ متّجهيها الذاتيين — أحدهما بمحاذاة (1, 1) (لـλ = 3)، والآخر بمحاذاة (1, -1) (لـλ = 1). توقَّع جداءهما القياسي، ثم اقرأ القراءات.
الجداء القياسي هو (1)(1) + (1)(-1) = 0، فالمتّجهان الذاتيان متعامدان. متّجهات المصفوفة المتماثلة الذاتية (لقيمٍ ذاتية متمايزة) متعامدة دائمًا.
اضبط A = [[3, 1], [2, 2]]. أثرها هو tr(A) = 3 + 2 = 5. توقَّع λ₁ + λ₂، ثم اقرأ القيم الذاتية.
القيم الذاتية هي {4, 1}، ومجموعها 4 + 1 = 5 — وهو tr(A) بالضبط. تصحّ هذه الهُويّة tr(A) = λ₁ + λ₂ لكلّ مصفوفة.
أبقِ A = [[3, 1], [2, 2]]. محدّدها هو det(A) = 3·2 - 1·2 = 4. توقَّع λ₁ λ₂، ثم اقرأه.
حاصل الضرب هو 4·1 = 4 — وهو det(A) بالضبط. تصحّ هذه الهُويّة det(A) = λ₁ λ₂ لكلّ مصفوفة، فـdet(A) = 0 يعني أنّ إحدى القيم الذاتية 0.
اضبط A = [[0, -1], [1, 0]] — وهو تدويرٌ بزاوية 90°. مميّزها هو tr(A)² - 4 det(A) = 0 - 4. توقَّع المميّز، ثم اقرأ القراءة وحُكم الحالة.
المميّز هو 0 - 4 = -4، وهو سالب، فالقيم الذاتية هي الزوج العقدي ±i ولا يوجد no متّجهٌ ذاتيٌّ حقيقي — فالتدوير يُدير كلّ اتّجاه، ولا يترك أيًّا منها ثابتًا.
كل ما سبق ينتظرك في المستكشف. أدخِل أيّ مصفوفة 2×2، وراقب الاتّجاهات الذاتية وصورة دائرة الوحدة تتحدّث لحظيًّا، وشاهِد القيم الذاتية والمتّجهات الذاتية والأثر والمحدّد وحُكم (حقيقي/عقدي/مكرّر) يتغيّر دفعةً واحدة — ثم شغّل رسوم التدوير لتشاهد متّجهًا يلاحق اتّجاهه الذاتي.
- وجدتَ القيم الذاتية الحقيقية {3, 1} للمصفوفة المتماثلة [[2, 1], [1, 2]] — القيمة الذاتية الأكبر 3
- رأيتَ أنّ متّجهيها الذاتيين متعامدان — الجداء القياسي 0
- أكّدتَ tr(A) = λ₁ + λ₂ = 5 على [[3, 1], [2, 2]]
- أكّدتَ det(A) = λ₁ λ₂ = 4 على المصفوفة نفسها
- رأيتَ مميّز التدوير السالب -4 — زوجٌ عقدي، no اتّجاهٌ ذاتيٌّ حقيقي
- كل قيمة توقّعتها هي حساب القيم الذاتية الخاصّ بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية