LA 101
M04 · L04
الوحدة 4: القيم الذاتية

M4-L4: تطبيقات القيم الذاتية

القيم الذاتية تُشغّل محرك البحث Google، وتضغط بياناتك، وتتنبأ بالسلوك الجماعي، وتمنع الجسور من الرنين. النظرية تلتقي بالعالم الحقيقي.

01 / 11
LA 101
M04 · L04
PageRank من Google

المتجه الذاتي المهيمن

صوِّر الويب كرسم بياني: الصفحات عقد، والروابط حواف موجَّهة. مصفوفة Google M هي مصفوفة ماركوف تُحوّل توزيع "قافز عشوائي". متجه PageRank r هو المتجه الذاتي لـ M المقابل لـ λ=1 — التوزيع الثابت الذي يصف وقت البقاء النسبي في كل صفحة.

PageRank Formula
\mathbf{r}=M\mathbf{r},\quad M=dA+\frac{1-d}{n}\mathbf{1}\mathbf{1}^T
02 / 11
LA 101
M04 · L04
خوارزمية PageRank

تكرار القدرة

  • ابدأ بمتجه موحد: r₀ = [1/n, …, 1/n]ᵀ
  • اضرب في M بشكل متكرر: rₖ₊₁ = Mrₖ
  • طبِّع كل خطوة، r ← r/‖r‖، ليبقى متجهًا احتماليًا
  • يتقارب إلى المتجه الذاتي المهيمن (λ = 1) في نحو 50 تكرارًا
  • تستخدمه Google على مليارات الصفحات
03 / 11
LA 101
M04 · L04
تحليل المكونات الرئيسية

PCA: قيم ذاتية لمصفوفة التباين

مصفوفة التباين المشترك Σ حقيقية متماثلة وموجبة شبه نهائية، فهي قابلة للتقطير المتعامد دائمًا: Σ = QDQᵀ. كل قيمة ذاتية λᵢ تُقيس مقدار التباين في اتجاه متجهها الذاتي؛ والمتجهات الذاتية — متعامدة ومرتبة بحسب λ — هي المحاور الرئيسية للبيانات.

PCA Decomposition
\Sigma\mathbf{q}_i=\lambda_i\mathbf{q}_i,\quad \Sigma = Q D Q^T
04 / 11
LA 101
M04 · L04
قوة الضغط

ضغط بـ k مكوّن

اختَر أكبر k قيمة ذاتية — المكونات الأولى تُفسّر معظم التباين. أسقِط البيانات على متجهاتها الذاتية للحصول على تمثيل مُضغط يحافظ على المعلومات الجوهرية.

90%
التباين المحفوظ
10×
الضغط
1M→100K
الأبعاد
05 / 11
LA 101
M04 · L04
سلاسل ماركوف

التوزيع المستقر

مصفوفة الانتقال P تُعطي احتمالات الحالة التالية. على المدى الطويل، يستقر التوزيع عند π — المتجه الذاتي لمصفوفة P عند القيمة الذاتية 1؛ وPπ = π تعني أن خطوة أخرى لا تغيّر التوزيع. مثال نموذج الطقس: P = [[0.9, 0.5], [0.1, 0.5]] تُعطي π = [5/6, 1/6] — أي 83% من الأيام مشمسة.

Stationary Distribution
P\boldsymbol{\pi}=\boldsymbol{\pi},\quad\sum_i\pi_i=1
  • القيمة الذاتية 1 موجودة دائمًا متى جمع كل عمود من P إلى 1
  • بيرون-فروبينيوس: للسلسلة غير القابلة للتجزئة توزيع π وحيد؛ وإن كانت غير دورية أيضًا تقارب إليه أي بداية
06 / 11
LA 101
M04 · L04
الاهتزاز الهيكلي

الترددات الطبيعية

معادلة الاهتزاز الحر Kx = ω²Mx هي مسألة قيم ذاتية معممة. كل قيمة ذاتية λᵢ تُعطي تردداً طبيعياً ωᵢ = √λᵢ؛ المتجه الذاتي يُعطي شكل الوضع — أنماط الحركة الطبيعية للهيكل.

Structural Vibration
K\mathbf{x}=\omega^2 M\mathbf{x},\quad\omega_i=\sqrt{\lambda_i}
07 / 11
LA 101
M04 · L04
الرنين والهندسة

الرنين والإخفاقات الكارثية

جسر معلّق طويل فوق مياه واسعة ليلًا، وخطوط من الريح تعبر السماء المظلمة.
الريح تضغط على كل جسر طويل. ويكشف تحليل القيم الذاتية الترددات الطبيعية للمنشأ، فيُبعد المهندسون الإثارة المتوقعة عنها.
  • الإثارة عند التردد الطبيعي ← تضخيم كارثي للاهتزازات
  • انهار جسر تاكوما ناروز (1940) بالرفرفة التي أثارتها الرياح — اهتزاز ذاتي الإثارة لا رنين بسيط — وما زالت أوضاع التوائه تُدرس بتحليل القيم الذاتية
  • تحليل القيم الذاتية يكشف الترددات الخطرة مسبقًا
  • على المهندسين ضمان ألا تتقاطع الترددات الطبيعية مع الإثارة المتوقعة
  • ويُضاف التخميد لكبح ذُرى الرنين في التصاميم الحرجة
08 / 11
LA 101
اختبار سريع

تحقّق ممّا ثبت

أربعة أسئلة من هذا الدرس. أجب لترى السبب — يظهر الشرح سواء أصبتَ أم أخطأت. ولا تُحفَظ نتيجتك.

السؤال 1 من 0
النتيجة 0/0

09 / 11
LA 101
M04 · L04
إيجاد المتجه الذاتي المهيمن

تكرار القدرة

اضرب في A وطبِّع بشكل متكرر. كل مرور يُحجّم كل مركبة ذاتية بقيمتها الذاتية، فتكسب المركبة في اتجاه v₁ عاملًا |λ₁/λ₂| على أقرب منافسيها في كل خطوة — أي إن ما بقي من الاتجاهات الأخرى يتقلّص بعامل |λ₂/λ₁| كل خطوة. وهي قابلة للتوسّع إلى مليارات الصفوف.

Power Iteration
\mathbf{x}_{k+1}=\frac{A\mathbf{x}_k}{\|A\mathbf{x}_k\|} \xrightarrow{k\to\infty} \mathbf{v}_1
|λ₁/λ₂|
الكسب في كل خطوة
|λ₂/λ₁|
عامل الخطأ في كل خطوة
O(n²)
لكل تكرار، A كثيفة
10 / 11
LA 101
ما يلي
اكتملت الوحدة 4

الوحدة 4 مكتملة

أتقنت قصة القيم الذاتية: من حل Ax=λx، إلى إيجاد المتجهات الذاتية، إلى التقطير، إلى التطبيقات الحقيقية. الجبر الخطي حيّ في العالم.

القادم
التالي: الوحدة 5 ←
كل الدروس اقرأ المقالة
11 / 11