LA 101
M04 · L01
الوحدة 4: القيم الذاتية
مسألة القيم الذاتية
حين تُطبّق مصفوفة على متجه فلا تدوّره بل تمدّه فقط — يُسمى ذلك المتجه متجهًا ذاتيًا وعامل المد يُسمى القيمة الذاتية.
01 / 11
LA 101
M04 · L01
الحدس الهندسي
الاتجاهات الخاصة
- معظم المتجهات تُدوَّر وتُمدّ معًا
- المتجهات الذاتية تُمدّ فحسب — ولا تُدوَّر أبداً
- تكشف المحاور الطبيعية للتحويل
- Av = λv: فعل المصفوفة = مجرد تكبير
02 / 11
LA 101
M04 · L01
التعريف
معادلة القيم الذاتية
المتجه الغير صفري v يُعدّ متجهًا ذاتيًا لـ A إذا كان ضربه بـ A لا يُغيّر سوى حجمه — بقيمة ذاتية λ.
Eigenvalue Equation
A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}
03 / 11
LA 101
M04 · L01
من المعادلة إلى المحدد
المعادلة المميزة
نعيد ترتيب Av = λv → (A − λI)v = 0. لوجود حل غير صفري لـ v، يجب أن تكون (A − λI) شاذة.
Characteristic Equation
\det(A-\lambda I)=0
04 / 11
LA 101
M04 · L01
كثيرة الحدود المميزة
للمصفوفة A = [[3,1],[0,2]]
كثيرة الحدود
(3−λ)(2−λ) = λ² − 5λ + 6 = (λ−3)(λ−2)
القيم الذاتية
λ₁ = 3 λ₂ = 2
05 / 11
LA 101
M04 · L01
مثال خطوة بخطوة
أربع خطوات للقيم الذاتية
الخطوة 1
اكوِّن A − λI (اطرح λ من القطر)
الخطوة 2
اضبط det(A − λI) = 0
الخطوة 3
حلّل كثيرة الحدود المميزة
الخطوة 4
الجذور هي القيم الذاتية
06 / 11
LA 101
M04 · L01
عدّ القيم الذاتية
التعددية الجبرية
يمكن أن تتكرر القيمة الذاتية كجذر في كثيرة الحدود المميزة. مصفوفة من الدرجة n لها بالضبط n قيمة ذاتية مع احتساب التعددية.
n
قيم ذاتية
∏λᵢ
= det(A)
∑λᵢ
= tr(A)
07 / 11
LA 101
M04 · L01
أبعاد أعلى
للمصفوفات 3×3
- كثيرة الحدود المميزة من الدرجة 3
- حتى 3 قيم ذاتية (مع احتساب التعددية)
- بعضها قد يكون أعدادًا مركبة
- المصفوفات المتماثلة الحقيقية ← قيم ذاتية حقيقية دائمًا
- المصفوفات المثلثية ← القيم الذاتية على القطر
08 / 11
LA 101
M04 · L01
خصائص رئيسية
ما تكشفه القيم الذاتية
- det(A) = حاصل ضرب جميع القيم الذاتية
- tr(A) = مجموع جميع القيم الذاتية
- المصفوفات المتشابهة تتشارك القيم الذاتية
- قيم المصفوفة المثلثية = عناصرها القطرية
- المصفوفة الشاذة ↔ 0 قيمة ذاتية لها
10 / 11
LA 101
ما يلي
اكتمل الدرس 1
M4-L2: إيجاد المتجهات الذاتية
وجدت القيم الذاتية. الخطوة التالية: إيجاد المتجهات الذاتية — الاتجاهات الخاصة — واكتشاف ما تكشفه عن بنية أي مصفوفة.
11 / 11