أدخِل أنظمةً خطّية واقرأ المحدّد والرُّتب والحلّ في الحلّال، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — محدّد نظام، وهل النظام غير المتّسق ليس له no حلّ، وهل النظام المعتمد له infinitely many حلول، والحلّ الدقيق لنظام له إجابة unique واحدة.
بالنسبة لنظام مربّع Ax = b، المحدّد det(A) يحسم الحالة السهلة: det ≠ 0 يعني حلًّا وحيدًا. وعندما det(A) = 0 يتوقّف الحكم على الرُّتب (روشيه–كابيلي): إذا كان rank([A|b]) > rank(A) فالنظام غير متّسق — no حلّ؛ وإذا تساوت الرُّتب لكنّها أقلّ من عدد المجاهيل فهناك متغيّرات حرّة — infinitely many حلول. الحالة الوحيدة التي لها متّجه واحد نُبلِغ عنه هي حالة الحلّ الوحيد.
افتح الحلّال. تُسمّي كل خطوة مصفوفة المعامِلات A والطرف الأيمن b اللذين تُدخِلهما؛ اكتبهما في الحقول ثم اقرأ قراءات المحدّد والرُّتبة والحلّ.
A x = b (enter the matrix A and vector b each step names)
Read: det(A), rank(A), rank([A|b]), solution vector
راقب قراءات المحدّد والرُّتبة والحلّ في اللوحة الرئيسية — كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
أدخِل A = [[1, 1], [1, -1]] وb = (3, 1) — النظام x + y = 3, x - y = 1. المحدّد هو det(A) = a11 a22 - a12 a21. توقَّع det(A)، ثم اقرأ القراءة.
تُظهر القراءة det(A) = 1·(-1) - 1·1 = -2. وبما أنّ det ≠ 0، فللنظام حلٌّ وحيد — هنا x = 2, y = 1.
أدخِل A = [[1, 1], [1, 1]] وb = (1, 2) — النظام x + y = 1, x + y = 2. توقَّع فجوة الرُّتبة rank([A|b]) - rank(A)، ثم اقرأ الرُّتب.
الرُّتبة المُوسَّعة تزيد على رُتبة المعامِلات بمقدار 1: rank(A) = 1 لكن rank([A|b]) = 2، وهو سطر "0 = 1". النظام غير متّسق — no حلّ.
أدخِل A = [[1, 1], [2, 2]] وb = (1, 2) — النظام x + y = 1, 2x + 2y = 2 (السطر الثاني ضِعف الأوّل). توقَّع عدد المتغيّرات الحرّة، ثم اقرأ القراءة.
الرُّتبتان متساويتان — rank(A) = rank([A|b]) = 1 — لكنّهما أقلّ من المجهولَين 2، فهناك متغيّرٌ حرٌّ واحد 1. النظام متّسق وناقص التحديد — infinitely many حلول على امتداد خطّ.
أدخِل A = [[2, 1, -1], [-3, -1, 2], [-2, 1, 2]] وb = (8, -11, -3). توقَّع الإحداثي الثالث z للحلّ، ثم اقرأ قراءة الحلّ.
يعطي حذف غاوس الحلّ الوحيد (x, y, z) = (2, 3, -1)، فيكون الإحداثي الثالث z = -1. وتتّفق قاعدة كرامر داخل العرض معه، وهي طريقٌ ثانٍ مستقلّ إلى الإجابة نفسها.
كل ما سبق ينتظرك في الحلّال. أدخِل أيّ نظام مربّع، وراقب خطوات الحذف تسير إلى الصيغة الدَّرَجية، وشاهِد المحدّد والرُّتب وحُكم (واحد/لا/ما لا نهاية) يتغيّر دفعةً واحدة — مع رسم خطَّي النظام 2×2 لترى تقاطعهما أو توازيهما أو انطباقهما.
- قرأتَ محدّد نظام، det(A) = -2، ورأيتَ أنّ det ≠ 0 يعني حلًّا وحيدًا
- رأيتَ فجوة رُتبة نظامٍ غير متّسق rank([A|b]) - rank(A) = 1 — no حلّ
- رأيتَ نظامًا معتمدًا فيه متغيّرٌ حرٌّ واحد 1 — infinitely many حلول
- حللتَ نظام 3×3 إلى الحلّ الوحيد (2, 3, -1)، بإحداثي ثالث z = -1
- كل قيمة توقّعتها هي حذف غاوس الخاصّ بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية