ابنِ أزواجًا من المتّجهات واقرأ محدّدها وزاويتها وإسقاطها في المِنصّة التفاعلية، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — هل الزوج مستقلٌّ خطّيًّا، وما بُعد span امتداده، والزاوية بين متّجهين، وإسقاط متّجه على آخر.
محدّد الزوج det(u, v) = u1 v2 - u2 v1 من متّجهين في المستوى رقمٌ واحد يحسم كل شيء: det ≠ 0 يعني أنّ الزوج مستقلٌّ خطّيًّا وأنّ span امتداده هو المستوى بأكمله — بُعد الامتداد 2؛ وdet = 0 يعني أنّ المتّجهين معتمدان خطّيًّا وأنّ الامتداد ينهار إلى خطّ — بُعده 1. الزاوية تأتي من الجداء القياسي، وإسقاط u على v يقسم على v·v = ‖v‖²، لا على ‖v‖.
افتح المِنصّة. تُسمّي كل خطوة المتّجهين u وv اللذين تضبطهما من مركّباتهما؛ اكتبهما في الحقول أو اسحب مقابض الأسهم، ثم اقرأ قراءات المحدّد والامتداد والزاوية والإسقاط.
u = (u1, u2), v = (v1, v2) (set the two vectors each step names)
Read: det(u,v), span dimension, angle, projection coefficient
راقب قراءات المحدّد وبُعد الامتداد والزاوية والإسقاط في اللوحة الرئيسية — كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
اضبط u = (3, 1) وv = (1, 2). المحدّد هو det(u, v) = u1 v2 - u2 v1. توقَّع det(u, v) وهل الزوج مستقلّ، ثم اقرأ القراءات.
تُظهر القراءة det(u, v) = 3·2 - 1·1 = 5. وبما أنّ det ≠ 0، فالزوج مستقلٌّ خطّيًّا وspan امتداده هو المستوى بأكمله — بُعد الامتداد 2.
اضبط u = (1, 2) وv = (2, 4) — أي v = 2u. توقَّع بُعد الامتداد، ثم اقرأ قراءة الامتداد.
المحدّد هو det(u, v) = 1·4 - 2·2 = 0، فالزوج معتمد خطّيًّا وبُعد الامتداد 1: يقع المتّجهان على خطٍّ واحد يمرّ بالمبدأ، لا على المستوى بأكمله.
اضبط u = (1, 1) وv = (1, 0). الزاوية تأتي من الجداء القياسي، cosθ = (u·v) / (‖u‖ ‖v‖). توقَّع θ، ثم اقرأ قراءة الزاوية.
تُظهر القراءة θ = 45°: المتّجه (1, 1) يشير في منتصف المسافة تمامًا بين المحورين، فيصنع زاوية 45° مع اتّجاه محور x وهو (1, 0).
اضبط u = (4, 5) وv = (2, 0). إسقاط u على v هو proj = ((u·v) / (v·v)) v. توقَّع المعامل، ثم اقرأه.
المعامل هو (u·v) / (v·v) = 8 / 4 = 2، فيكون proj = (4, 0). المقسوم عليه هو v·v = ‖v‖² = 4، لا ‖v‖ = 2 — والقسمة على ‖v‖ مرّةً أقلّ ممّا يجب هي الخطأ الكلاسيكي.
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. اسحب مقابض الأسهم لبناء أيّ متّجهين، وراقب متوازي الأضلاع وخطّ الامتداد والإسقاط تتحدّث لحظيًّا، وشاهِد المحدّد والزاوية وحُكم الاستقلال تتغيّر دفعةً واحدة.
- قرأتَ محدّد الزوج، det(u, v) = 5، ورأيتَ أنّ det ≠ 0 يعني الاستقلال الخطّي — بُعد الامتداد 2
- رأيتَ زوجًا معتمدًا (det = 0) ينهار إلى بُعد امتداد 1 — خطٌّ لا مستوٍ
- قِستَ الزاوية بين (1, 1) و(1, 0) فكانت 45°
- أسقطتَ (4, 5) على (2, 0) بمعامل 2، بالقسمة على ‖v‖² لا ‖v‖
- كل قيمة توقّعتها هي حساب متّجهات العرض نفسه، لا صورة تقريبية