شغّل المرشّح المطابق على إشارة مدفونة في الضجيج في المِنصّة التفاعلية، وتوقَّع — قبل أن تقرأ من الشاشة — الطاقة التي تبلغها قمّة الارتباط، والمساحة تحت منحنى ROC حين تكون الإشارة قابلة للكشف وحين لا تكون، وكسب المعالجة الذي يمنحه قالب أطول.
المرشّح المطابق هو الكاشف الأمثل في الضجيج الأبيض: فهو يجري ارتباطًا متبادلًا بين السجلّ والقالب المعروف، فتتجمّع الإشارة في الطور بينما لا يتجمّع الضجيج. وتقف قمّته بمقدار 10·log10(N) dB فوق موضع العيّنة الواحدة — وهو processing gain — ويحوّل منحنى ROC ذلك الهامش إلى مقايضة بين P_d وP_fa يمكنك قراءتها. وتوقّع طاقة القمّة وAUC والكسب من تشغيل حقيقي هو ما يُخرج الكشف من كونه صندوقًا أسود.
افتح المِنصّة. تفتح على هذه الحالة بالضبط — قالب منسحب الترّدد مدفون في ضجيج تباينه واحد — فزرّ «إعادة الضبط» يعيدك إلى هنا أيضًا. تُسمّي كل خطوة المؤشّر الوحيد الذي تُغيّره؛ واترك ما عداه كما هو.
Template -> Chirp N -> 64 A -> 0.30
Noise sigma -> 1.00 Threshold -> 2.00 sigma_out Seed -> 7
راقب قراءة طاقة القالب، وقراءة AUC، وقمّة الارتباط — كل رقم تتوقّعه مطبوع هناك.
أبقِ القيم الافتراضية: قالب Chirp طوله N = 64 عيّنة. يجري المرشّح المطابق ارتباطًا متبادلًا بين السجلّ والقالب؛ وحين يُطابَق مع نفسه (الارتباط الذاتي) يبلغ ذروته عند الإزاحة صفر بقيمة E_s = Σs². وكل قالب هنا مُعاير بحيث E_s = N. توقَّعها، ثم اقرأ قراءة طاقة القالب.
طاقة القالب هي E_s = Σs² = N = 64، ويبلغ الارتباط الذاتي الخالي من الضجيج تلك القيمة بالضبط عند الإزاحة 0 — وهي الخاصّية المميّزة للمرشّح المطابق.
أبقِ القيم الافتراضية: A = 0.30، N = 64، sigma = 1، فتكون قابلية الكشف d = A·√N / sigma = 2.4. مرِّر العتبة واقرأ المساحة تحت منحنى ROC. توقَّع هل تقع AUC قرب 0.5 (صدفة) أم قرب 1، ثم اقرأ قراءة AUC.
ينحني منحنى ROC نحو الزاوية العليا اليسرى وتبلغ AUC ≈ 0.955 — أعلى بكثير من 0.5 الخاصّة بالصدفة. وعند d = 2.4 تكون الإشارة المدفونة قابلة للكشف بأريحية.
اسحب السعة A إلى 0. مع غياب الإشارة يكون P_d = Q((tau − 0)/sigma) = Q(tau/sigma) = P_fa عند كل عتبة. توقَّع AUC، ثم اقرأها.
ينهار منحنى ROC إلى القُطر وتصير AUC = 1/2 = 0.5 — صدفة محضة. وعند tau = 0 يتساوى كلٌّ من P_fa وP_d مع Q(0) = 0.5.
اسحب طول القالب N إلى 100. يضرب التكامل المتماسك على N عيّنة نسبة قدرة SNR عند الخرج في N — كسبٌ مقداره 10·log10(N)، مستقلٌّ عن سعة الإشارة. توقَّع قراءة كسب المعالجة.
كسب المعالجة هو 10·log10(100) = 20 dB — أفضلية قدرة بمئة ضعف يمنحها المرشّح المطابق من طول القالب وحده (والقيمة الافتراضية N = 64 تعطي 18.06 dB).
كل ما سبق ينتظرك في المِنصّة. ادفن القالب أعمق بخفض السعة أو رفع الضجيج، ومرِّر العتبة لتسير على منحنى ROC كاملًا، وأطِل القالب لتراقب الكسب يتسلّق، وشغّل تراكب مونت كارلو لترى آلاف السحوبات المُبذَّرة تتقارب نحو المنحنى التحليلي.
- قرأتَ المرشّح المطابق يبلغ ذروته عند طاقته، E_s = Σs² = N = 64
- راقبتَ إشارة مدفونة (d = 2.4) تحني منحنى ROC إلى AUC ≈ 0.955
- رأيتَ منحنى ROC ينهار إلى القُطر (AUC = 0.5) حين هبطت الإشارة إلى الصفر — صدفة محضة
- وجدتَ كسب المعالجة لقالب N = 100، 10·log10(100) = 20 dB
- كل قيمة توقّعتها هي حساب الكشف الخاص بالعرض نفسه، لا صورة تقريبية